Nachweis einer Raute im Sehnenviereck

Question

Von einem Sehnenviereck schneiden sich die Verlängerungen gegenüberliegender Seiten in P bzw. Q. Eine Winkelhalbierende durch P schneidet zwei Seiten des Sehnenvierecks in A bzw. C. Eine Winkelhalbierende durch Q schneidet zwei Seiten des Sehnenvierecks in B bzw. D. Zeige: ABCD ist eine Raute.

Comments

Benutze die Vierecke QVPU und QSPU um zu zeigen, dass die Diagonalen von ABCD orthogonal sind sowie die kongruenten Dreiecke QCS und QAS um zu zeigen, dass sie sich gegenseitig halbieren.

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Ich hatte schon geahnt dass hj2166 antworten würde. Auch hatte ich vorausgesehen, dass er sich mal wieder nur in Andeutungen ergehen würde. Die Skizze ist sehr schön und die Andeutungen sind soweit zutreffend.

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Schaffst du es noch nicht einmal mit meiner massiven Hilfestellung ?

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Frech wie immer schreibst du: "Schaffst du es noch nicht einmal mit meiner massiven Hilfestellung ?"

Woraus schließt du, dass ich es nicht geschafft habe? Massiv finde ich deine Hilfestellung allerdings nicht. Der ganze Vorgang erinnert ich an alles, was ich von dir schon kenne.

Wenn du so sicher bist, dass die richtige Lösung bereits in deinen Andeutungen erkennbar ist, warum veröffentlichst du es dann als Kommentar und nicht als Lösung?

Answer 1

Ich versuche es mal als ausführliche Lösung darzustellen:

Dazu ergänze ich noch Bezeichner für die noch nicht benannten Ecken des

Sehnenvierecks so, dass (gegen den Uhrzeiger) das Sehnenviereck

VWUT ist.

Den Innenwinkel bei V nenne ich a und den bei W nenne ich b ,

wegen des Sehnenvierecks ist dann bei U der Innenwinkel 180° - a

und bei T ist es 180° - b.

Damit berechne ich die (spitzen) Winkel bei P und Q.

bei Q ist das im Dreieck UQT

c =  180° - Innenwinkel bei U - Innenwinkel bei T

= 180° - b - a.

Bei P ist es im Dreieck UWP

d=  180° - Innenwinkel bei U - Innenwinkel bei T

  =   180° - a - ( 180° - b ) =  b - a

Nun im Dreieck QDW den Innenwinkel bei D berechnen, das ist

e = 180° - Innenwinkel bei Q - Innenwinkel bei W

   =  180° - ( 180° - b - a ) / 2   -  b   =  90° + b/2  -  a/2

Letztendlich im Dreieck PSD den Innenwinkel bei S berechnen

= 180° - Innenwinkel bei D - Innenwinkel bei P

= 180° - (  90° + b/2  -  a/2 )  -  (b-a) / 2  = 90°

Also stehen die Diagonalen im Viereck ABCD schon mal senkrecht

aufeinander und weil die Dreiecke BSP und DSP kongruent sind

(Sie stimmen nämlich überein in den Innenwinkeln bei P und dem

rechten Winkel bei S und der Seite PS ) halbiert S die Diagonale BD.

Und mit dem entsprechenden Argument halbiert S auch AC, also ist

das Viereck ABCD eine Raute.  q.e.d.