Funktion f auf Monotonie untersuchen: f(x)= x + 1/x, x>0

Question

AUFGABE: Untersuchen Sie die Funktion f auf Monotonie.

f(x)= x + 1/x, x>0

Ich habe bei der ersten Ableitung gleich -1 als konstantes Glied, also Nullstelle rausbekommen. Aber das ist ja falsch, denn die 1 gehört ja auch noch zu den Nullstellen.
Also wie geht man bei dieser Aufgabe vor? Eventuell Lösung mit angeben? Ist schließlich nur eine Übung zum Verständnis, danke

Comments

Schau mal hier: https://www.mathelounge.de/98140/untersuchen-sie-die-funktion-f-auf-monotonie-f-x-x-1-x

Answer 1

f(x)= x + 1/x, x>0 

x>0 heisst, dass man für x nur positive Werte einsetzt. D.h. der Graph von f liegt ganz rechts von der y-Achse. Im Plotter muss man da ein wenig tricksen, damit links nichts gezeichnet wird. 

~plot~ (sqrt( x + 1/x) )^2; x=0;x=1;x=5 ~plot~

Nun geht es um die blaue Linie. Zwischen den Geraden x=0 und x=1 fällt sie. 

Daher ist der Graph monoton fallend für 0 < x < 1. 

Nachher steigt der Graph. Also im Bereich x>1. 

x=5 ist nur ein Beispiel für eine weitere Vertikale. Dort ändert sich das Monotonierverhalten der Funktion nicht. 

An der Stelle x=1 (im lokalen Minimum) ist der Graph gemäss der üblichen Definition gleichzeitig fallend und steigend. 

D.h. es kommt dann zum Resultat:

Daher ist der Graph monoton fallend für 0 < x ≤ 1. 

Nachher steigt der Graph. Also im Bereich x≥1. 

Comments

Kann man anstatt 0<x<1 nicht auch +unendlich sagen? Dass es ab +unendlich monoton bis 1 fällt? Und natürlich für x>1 +unendlich?

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Oder muss man das so angeben, weil x>0 gegeben ist?

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Also wie genau sieht jetzt das Monotonieintervall aus?

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Links von der y-Achse gibt es nichts. Daher kannst nicht behaupten, dass der Graph dort irgendwie monoton ist.

Unterscheide unbedingt x und y. x musst du auf der x-Achse ablesen und y auf der y-Achse.

Im Unterschied zur Musik liest man Intervalle in der Mathematik in der Regel waagrecht ab (nicht senkrecht).

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Also wie genau sieht jetzt das Monotonieintervall aus?

Die sind schon gezeichnet. Eines liegt zwischen x=0 und x=1 und das andere zwischen x=1 und unendlich. 

Daher ist der Graph monoton fallend für 0 < x ≤ 1, d.h. im Intervall (0,1] 

Nachher steigt der Graph. Also im Bereich x≥1, d.h. im Intervall [1,∞ ) .

Bei 1 kannst du je nach Definition in deinen Unterlagen auch runde Klammern haben. 

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Ich danke dir von Herzen, endlich habe ich es verstanden!

Answer 2

f(x)=x+1/x

f'(x)=1-1/x^2=(x^2-1)/x^2=(x+1)(x-1)/x^2

für 0<x<1 ist die Ableitung negativ, für x>1 ist sie positiv. x<0 liegt nicht im Definitionsbereich.

Comments

Ich habe gar nichts verstanden. Was ist jetzt die Lösung der Aufgabe?

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Monotonie:

Funktion ist monoton steigend, wenn die erste Ableitung größer als 0 ist.

Monoton fallend , wenn die erste Ableitung negativ ist

Oben wurde berechnet wenn dies der Fall ist.

 monoton fallend für 0<x<1

monoton steigend für x>1

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 monoton fallend für 0<x<1

Was heißt das? Meinst du nicht kleiner 0?

Und wie lauten jetzt die Hoch- und Tiefpunkte, die Monotonie und -intervalle? Das ist mir nicht so ganz klar.

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monoton fallend für 0<x<1 heißt monoton fallend für x∈(0,1) und nein, ich meine nicht x<0,denn x<0 liegt nicht im Definitionsbereich der Funktion (du hast oben bei der Definition der Funktion selber geschrieben x>0)

Ebenso ergibt sich dann in der Schreibweise monoton wachsend für x∈(1,∞)

Nach Hoch- und Tiefpunkten ist in der Aufgabenstellung  nicht gefragt, aber hier als Zusatz: bei x=1 liegt ein Tiefpunkt vor

Answer 3

f(x)= x + 1/x, x>0 

D = ℝ \ { 0 }

f ´( x ) = 1 - 1 / x^2

Steigung 0
1 - 1 / x^2 = 0
1 = 1 / x^2
x^2 = 1

x = +1
x = -1

Steigung positiv
1 - 1 / x^2 > 0
1 > 1 / x^2  | * x^2;  x^2 in D ist stets positiv
x^2 > 1

x > 1
x < -1

Steigung negativ
-1 < x < 1

-∞ .. -1 : steigend
-1 : null
-1 < x < 1 : fallend
1 : null
1 .. ∞ : steigend



Die in der Aufgabenstellung angeführte Einschränkung
x > 0 wurde nicht berücksichtigt.

Comments

Also das Fazit ist, dass x>0 nicht berücksichtigt wurde, oder wie? Aber x SOLLTE ja größer als 0 sein und das wurde doch berücksichtigt. Ich verstehe nicht, was du meinst.

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f(x)= x + 1/x, x>0

Mittlerweile solltest du auch die mathematischen
Kenntnisse besitzen um meine Antwort
entsprechend anzupassen

D = ℝ⁺

f ´( x ) = 1 - 1 / x²

Steigung 0
1 - 1 / x² = 0
1 = 1 / x²
x² = 1

x = +1
x = -1 ( entfällt da nicht im Def-Bereich )

Steigung positiv
1 - 1 / x² > 0
1 > 1 / x²  | * x²;  x² in D ist stets positiv
x² > 1

x > 1
x < -1  ( entfällt da nicht im Def-Bereich )

Steigung negativ
-1 < x < 1
im Defbereich
0 < x < 1

Monotoni
0 ≤ x < 1 : fallend
1 : null
1 .. ∞ : steigend
( siehe den Graph )

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Woher kommt die 0, wenn man die Monotonie untersucht? Muss man nicht +unendlich nehmen?

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Eine Untersuchung auf Monotoni ist eine
Untersuchung der Steigung einer Funktion.

Es gibt 3 Möglichlichkeiten. Die Funktion

ist fallend
verläuft waagerecht
ist steigend

Dazu wird die
1.Ableitung = Steigungsfunktion einer Funktion
gebildet.

Die 3 Möglichkeiten werden jetzt untersucht

f ´( x ) < 0
f ´( x ) = 0
f ´( x ) > 0

Genau das habe ich gemacht.

Was verstehst du nicht ?
Bitte nachfragen.
Du sollst nicht unwissend sterben.

mfg Georg

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Ne, ich meine bei monoton fallend. Warum kommt da die 0 vor? Muss das Intervall nicht mit +unedlich und 1 monoton fallend sein? DAS verstehe ich nicht.

0<x<1 heißt ja für x ist Element von (0,1) monoton fallend. Aber warum die 0? Der Graph kommt ja von obigen Werten, trifft nicht die 0 im x-Wert und geht ins Unendliche.

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Es gilt 3 bemerkenswert Werte

( x | y )
( 0(+) | +∞ )
fallend auf
( 1 | 2 )
dann steigend auf
( + ∞ | + ∞ )

x - Werte 0(+)  .. 1 .. +∞
dazugehörende
y - Werte  +∞  .. 2  .. +∞