quadratische glg , 2 lösungen mit parameter m

Question

Hallo die Aufgabe lautet so :

Wir betrachten die quadratische Gleichung
x^2- 2mx - 1 = 0, wobei m eine beliebige reelle Zahl sein kann.
Für welche Werte von m hat die Gleichung zwei reelle Lösungen,
für die die Summe ihrer Kuben das Achtfache ihrer Summe ist?

weiß jemand vl wie das gehen könnte ?

Danke !

Comments

Bezeichne die beiden Nullstellen mit \(u\) und \(v\). Nach Vieta gilt \(u+v=2m\) und \(u\cdot v=-1\). Es soll \(u^3+v^3=8(u+v)\) gelten. Das ist sicher der Fall für \(u=-v\), also \(m=0\). Sonst kürze mit \(u+v\) und erhalte \(u^2-u\cdot v+v^2=8\). Es folgt \((u+v)^2=8+3u\cdot v\) und damit \(4m^2=8-3=5\).

Answer 1

x²- 2mx - 1 = 0, wobei m eine beliebige reelle Zahl sein kann.
Für welche Werte von m hat die Gleichung zwei reelle Lösungen,diese sind   x_1,2 =  m ± √ ( m² + 1 )

für die die Summe ihrer Kuben das Achtfache ihrer Summe ist?


Die Summe ist     2m    #


Die Summe der Kuben ist   

( m + √ ( m² + 1 ) )³  +   ( m - √ ( m² + 1 ) )³  

zur Vereinfachung schreibe ist das so:( m +w )³  +  ( m - w ) ³ 


= m³ + 3m²w + 3mw² + w³  +  m³- 3m²w + 3mw² - w³ 

= 2m³ + 6mw²      ##

und jetzt wieder w =  √ ( m² + 1 ) einsetzen

also w² = m² + 1Also ergeben # und ## zusammen damit 

2m³ + 6m(m² + 1)  =  2m  * 8

8m³  +  6m   =   16m

8m³  -10m   =   0  

m * ( 8m² - 10 ) = 0  

m = 0   oder  m² = 5/4

Also m=0  oder  m = ±√1,25

Answer 2

x²- 2mx - 1 = 0, wobei m eine beliebige
reelle Zahl sein kann.
Für welche Werte von m hat die Gleichung
zwei reelle Lösungen,

x^2 - 2mx + m^2 = 1 - m^2
( x - m ) ^2 = 1 - m^2
x - m = ± √ ( 1 - m^2 )
x = ± √ ( 1 - m^2 ) + m

falls
1 - m^2 = 0 dann
√ ( 1 - m^2 ) = 0
dann gibt es nur 1 Lösung x = m

ansonsten
1 - mk^2 > 0
m^2 < 1
- √ 1 < m  < + √ 1
- 1 < m  < +1

Comments

für die die Summe ihrer Kuben das Achtfache
ihrer Summe ist?

Verstehe ich auch nicht.

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Vorzeichen in der 1. Zeile:

x² - 2mx + m² = 1  + m²

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x² - 2mx + m² = 1 - m²

Hier ist bei mir leider ein Fehler.
Es muß heißen

x² - 2mx + m² = 1 + m²

Ansonsten siehe die Antwort vom mathef

Nachtrag : mathef, danke für den Fehlerhinweis.
Die Kommentare haben sich zeitlich etwas überschnitten.