Fkt.-Glg. erstellen / 2. Ordnung

Question

Aufgabe:

Die Flugbahn eines Geschosses wird durch folgende Funktion beschrieben:

h(x) = ax^2 + bx + c

folgende Daten in einer Wertetabelle:

x in m: 10 /// 20 /// 40

h in m: 7,5 /// 10 /// 0

Aufgabe: Erstellen Sie die Funktionsgleichung der Flughöhe des Geschosses.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich da vor? Komme leider gar nicht darauf...

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Du möchtest eine Funktionsgleichung mit 3 Unbekannten \(a\), \(b\) und \(c\) bestimmen$$h(x)=ax^2+bx+c$$und kennst drei Punkte dieser Funktion:$$(10\;|\;7,5)\quad;\quad(20\;|\;10)\quad;\quad(40\;|\;0)$$Wenn wir diese 3 Werte für \(x\) und \(h(x)\) in die Funktion einsetzen, bekommen wir 3 Gleichungen:$$\begin{array}{rrrrrrr}a\cdot100&+&b\cdot10&+&c&=&7,5\\a\cdot400&+&b\cdot20&+&c&=&10\\a\cdot1600&+&b\cdot40&+&c&=&0\end{array}$$Das sind 3 Gleichungen für 3 Unbekannte. Darauf wenden wir das Gauß-Verfahren an:

$$\begin{array}{rrr|r|l}a & b & c & = &\text{Aktion}\\\hline100 & 10 & 1 & 7,5 &\\400 & 20 & 1 & 10 &-4\cdot\text{Zeile 1}\\1600 & 40 & 1 & 0&-16\cdot\text{Zeile 1}\\\hline100 & 10 & 1 & 7,5 &+0,5\cdot\text{Zeile 2}\\0 & -20 & -3 & -20 &\\0 & -120 & -15 & -120&-6\cdot\text{Zeile 2}\\\hline100 & 0 & -0,5 & -2,5 &+\frac{1}{6}\cdot\text{Zeile 3}\\0 & -20 & -3 & -20 &+\text{Zeile 3}\\0 & 0 & 3 & 0&\\\hline100 & 0 & 0 & -2,5 &:\,100\\0 & -20 & 0 & -20 &:\,(-20)\\0 & 0 & 3 & 0&:\,3\\\hline1 & 0 & 0 & -1/40 &\\0 & 1 & 0 & 1 &\\0 & 0 & 1 & 0&\\\hline\hline\end{array}$$

Damit haben wir die Funktionsgleichung gefunden:$$h(x)=-\frac{1}{40}\cdot x^2+x$$

~plot~ -1/40*x^2+x ; {10|7,5} ; {20|10} ; {40|0} ; [[0|45|0|12]] ~plot~

Comments

Danke für die Hilfe. Um das Gauß-Verfahren komm ich nicht herum, oder?

Bzw. kann man sowas auch mit dem TR lösen?

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Der 1er beim letzten Tabellenabschnitt bedeutet x^2 oder wie kommt man darauf? Und warum hab ich beim Ergebnis mal x^2 und nicht + x^2? Danke.

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Zu deiner 2-ten Frage:

Die Lösung beim Gauß-Verfahren kannst du ablesen:$$a=-\frac{1}{40}\quad;\quad b=1\quad;\quad c=0$$Diese Werte musst du nun in den Ansatz einsetzen.

Zu deiner 1-ten Frage:

Viele TR können Gleichungssysteme lösen. Da müsstest du mal schauen, ob deiner das kann.

Es gibt noch einen anderen Lösungsweg. Ich weiß nicht, ob der für dich besser ist, das müsstest du entscheiden. Der Lösungsweg geht so. Wir haben die Funktionswerte bei \(x=10\), \(x=20\) und \(x=40\). Daher wählen wir als Ansatz:$$f(x)=a(x-40)+b(x-40)(x-20)+c$$Das gibt einfachere Gleichungen:

$$0=f(40)=c\implies c=0$$$$10=f(20)=-20a\implies a=-\frac{1}{2}$$$$7,5=f(10)=-30a+300b=15+300b\implies b=-\frac{7,5}{300}=-\frac{1}{40}$$Allerdings musst du nun beim Zusammenbau von \(f(x)\) etwas rechnen:$$f(x)=-\frac{1}{2}(x-40)-\frac{1}{40}(x^2-60x+800)$$$$\phantom{f(x)}=-\frac{1}{2}x+20-\frac{1}{40}x^2+\frac{3}{2}x-20=-\frac{1}{40}x^2+x$$

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Das mit dem Einsetzen in den Ansatz hab ich leider noch nicht verstanden.

Sprich wie dann aus 1 und 0 x^2 und x wird.