Füllstandsberechnung für n Behälter

Question

Zwei Behälter werden mit unterschiedlichen Füllgeschwindigkeiten abwechselnd befüllt. Beim Wechseln des Behälters sind die Wechselzeiten unterschiedlich. Die beiden Behälter laufen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten aus. Kein Behälter darf leer werden. 
Welche Bedingungen gelten für das System?Wie werden die minimalen Füllstände berechnet?Wie sieht die allgemeine Lösung für n Behälter aus?

Comments

Damit auf Dauer / für einen Zyklus die Füllstände
F1 und F2 erhalten bleiben müßte gelten

v1 * t1 = v2 * ( t1 + t2 )
v3 * t2 = v4 * ( t1 + t2 )

Soweit richtig ???

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"Beim Wechseln des Behälters sind die Wechselzeiten unterschiedlich."

Ich hätte t1 und t2 als Wechselzeiten gesehen und nicht als Füllzeiten.

Welche Bedingungen gelten für das System?

Z.B. das v1 > v2 sein muss oder?

Wie werden die minimalen Füllstände berechnet?

z.B. F1min = v2 * t1

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Die Aufgabe bietet reichlich Raum für
Interpretationen des Sachverhalts.

Wird der Zulaufkran nur von links nach
rechts geschwenkt ?
Oder werden die Behälter  verschoben ?
Laufen die Ausflüsse die ganze Zeit aus ?

Der Fragsteller möge einmal genauer
beschreiben.

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Ich habe es so verstanden das immer Wasser ausläuft. Ob jetzt der Zulauf geschwenkt wird oder die Behälter dürfte egal sein. Man kann sich sogar vorstellen man dreht den Zulauf über einem Behälter ab. Benötigt die Zeit t1 oder t2 um zum anderen Zulauf mit Behälter zu gehen und dreh dort den Zulauf auf.

t1 muss nicht gleich t2 sein, weil ich ja eventuell zum Treppen hochlaufen eine andere Zeit benötige als die Treppe runter zu rutschen :)

Trotzdem gibt es auch mir zu viel Spielraum für Spekulationen. Vielleicht hab ich das auch total falsch verstanden.

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Der letzte Kommentar stellt den Sachverhalt richtig dar. t1 und t2 sind die Wechselzeiten. Warum das so ist ist ja irrelevant. Entweder wegen dem Treppenbeispiel, den Hahn öffnen oder sonstigen unterschiedlichen Zeiten. In der Wechselzeiten fließt jedenfalls nichts in die Behälter.

Im Übrigen sind die Füllstände eigentlich Volumen. Deshalb auch keine Angaben zu den Abmaßen der Behälter.

Natürlich muss v1 > v2 und v3 > v4 sein, sonst können die Behälter ja gar nicht gefüllt werden.

Für jeden Behälter gilt, dass die Summe aller anfallenden Zeiten mal der Auflaufgeschwindigkeit, also das ausgelaufene Volumen gleich dem eingefüllten Volumen ist. Will man wissen wie groß die Volumina der einzelnen Behälter sein müssen, muss man auch wissen wie lange befüllt werden muss. Diese Füllzeiten stehen in einem bestimmten Zusammenhang mit den Geschwindigkeiten.

Am Ende wird einen Formel für die einzelnen Volumen benötigt in der nur die Geschwindigkeiten und die Wechselzeiten stehen.

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Langsam verzweifle ich an dem Problem echt. Kann mir jemand erklären wie die beiden Behälter voneinander abhängig sind?

Um dass Füllvolumen des ersten Behälters zu berechnen benötigt man ja offensichtlich die Füllzeit des zweiten Behälters da in dieser Zeit aus dem ersten weiterhin was ausfließt. Genauso ist das auch umgekehrt. Somit hab ich zwei Variablen die ich noch irgendwie in Zusammenhang bringen muss. Wie das geht hab ich aber noch nicht erkannt.

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Ablaufbeschreibung

Nach einem Zyklus sind die Anfangsfüllstände
F1 und F2 wieder erreicht.

Wasser läuft aus beiden Behältern, mit
unterschiedlicher Geschwindigkeiten, stets aus.

Zyklus

1. Wasser läuft mit der
t1 und v1 in den Behäter 1 zu.

2. Eine Pause t1p findet statt.

3. Wasser läuft mit
t2 und v2 in den Behäter 2 zu.

4.Eine Pause t2p findet statt.

Ende Zyklus

Ist der Zyklus so korrekt beschrieben ?

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Ja. Zumindest wenn du von der vorgegebenen Beschriftung abweichst.

Aber ansonsten ist der Sachverhalt richtig erkannt.

Kleiner Tipp. Nimm vielleicht zuerst ausgedachte Werte für die du das Problem löst und erst später dann unbekannte. So wird das zunächst etwas einfacher denke ich. Zumindest würde ich so vorgehen.

Ich werde es auch mal probieren, allerdings nicht mehr heute Nacht.

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In der Skizze fehlt aber was z.B. die
Zulaufzeiten

Wir sollten zunächst die Variablen festlegen

für Behälter 1

v1 Zulaufgeschwindikeit
t1 Zulaufzeit

t1p(ause) Schließung Zulauf 1 bis Öffnung
Zulauf Behälter 2

Behälter  2

v2 Zulaufgeschwindikeit
t2 Zulaufzeit

t2p(ause) Schließung Zulauf 2 bis Öffnung
Zulauf Behälter 1

Stets
v3 Ablaufgeschwindigkeit Behälter 1
v4 Ablaufgeschwindigkeit Behälter 2

v1 * t1  = v3 * ( t1 + t1p + t2 + t2p )
v2 * t2 = v4 * ( t1 + t1p + t2 + t2p )

Falls die Ablaufbeschreibung korrekt ist :

Es sind aber reichlich Variable ( 8 )
vorhanden.
Sind welche bekannt ?

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Hier nochmal die genaue Beschreibung: 
Bekannte Konstanten: t1 - Wechselzeiten von Behälter 1 auf Behälter 2 t2 - Wechselzeiten von Behälter 2 auf Behälter 1 v1 - Füllgeschwindigkeit für Behälter 1 v2 - Auslaufgeschwindigkeit für Behälter 1 v3 - Füllgeschwindigkeit für Behälter 2 v4 - Auslaufgeschwindigkeit für Behälter 2 
Bekannte Bedingungen: In den Wechselzeiten erfolgt kein Zufluß (v1 = 0, v2 = 0)Behälter 1 muss befüllbar sein (v1 > v2)Behälter 2 muss befüllbar sein (v3 > v4)
unbekannte Bedingungen:damit das System funktioniert müssen noch weitere Bedingungen erfüllt sein. Zusammenhang von v1 und v2 zu v3 und v4 
Unbekannte Variablen: t1F - Füllzeit Behälter 1 t2F - Füllzeit Behälter 2 t1w - Wartezeit in der Behälter 1 nich befüllt werden musst2w - Wartezeit in der Behälter 2 nich befüllt werden muss
bekannte Zusammenhänge: t1A - Auslaufzeit der Behälter 1 : t1A = t1+t2+t1F+t2F+t1w t2A - Auslaufzeit der Behälter 2 : t2A = t1+t2+t1F+t2F+t2w F1A - Auslaufvolumen Behälter 1 : F1A = t1A x v2 F2A - Auslaufvolumen BehälterHier nochmal die genaue Beschreibung:
Bekannte Konstanten:t1 - Wechselzeiten von Behälter 1 auf Behälter 2t2 - Wechselzeiten von Behälter 2 auf Behälter 1v1 - Füllgeschwindigkeit für Behälter 1v2 - Auslaufgeschwindigkeit für Behälter 1v3 - Füllgeschwindigkeit für Behälter 2v4 - Auslaufgeschwindigkeit für Behälter 2
Bekannte Bedingungen:In den Wechselzeiten erfolgt kein Zufluß (v1 = 0, v2 = 0)Behälter 1 muss befüllbar sein  (v1 > v2)Behälter 2 muss befüllbar sein  (v3 > v4)
unbekannte Bedingungen:damit das System funktioniert müssen noch weitere Bedingungen erfüllt sein.Zusammenhang von v1 und v2 zu v3 und v4
Unbekannte Variablen:t1F - Füllzeit Behälter 1t2F - Füllzeit Behälter 2t1w - Wartezeit in der Behälter 1 nich befüllt werden musst2w - Wartezeit in der Behälter 2 nich befüllt werden muss
bekannte Zusammenhänge:t1A - Auslaufzeit der Behälter 1   : t1A = t1+t2+t1F+t2F+t1wt2A - Auslaufzeit der Behälter 2   : t2A = t1+t2+t1F+t2F+t2wF1A - Auslaufvolumen Behälter 1 : F1A = t1A x v2F2A - Auslaufvolumen Behälter 2 : F2A = t2A x v4F1F - Füllvolumen Behälter 1       : F1F = t1F × (v1-v2)F2F - Füllvolumen Behälter 2       : F2F = t2F × (v3-v4)F1F = F1AF2F = F2A
sich daraus ergebende Gleichungen:t1F × (v1-v2) = (t1+t2+t1F+t2F+t1w) x v2t2F × (v3-v4) = (t1+t2+t1F+t2F+t2w) x v4
4 Unbekannte und nur 2 Gleichungen. Es fehlen also noch 2 Gleichungen die ich nicht erfassen kann. Also die oben beschriebenen unbekannten Bedingungen. 2 : F2A = t2A x v4 F1F - Füllvolumen Behälter 1 : F1F = t1F × (v1-v2) F2F - Füllvolumen Behälter 2 : F2F = t2F × (v3-v4) F1F = F1A F2F = F2A
sich daraus ergebende Gleichungen: t1F × (v1-v2) = (t1+t2+t1F+t2F+t1w) x v2 t2F × (v3-v4) = (t1+t2+t1F+t2F+t2w) x v4 
4 Unbekannte und nur 2 Gleichungen. Es fehlen also noch 2 Gleichungen die ich nicht erfassen kann. Also die oben beschriebenen unbekannten Bedingungen.

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Hier nochmal die genaue Beschreibung: 
Bekannte Konstanten:

t1 - Wechselzeiten von Behälter 1 auf Behälter 2 
t2 - Wechselzeiten von Behälter 2 auf Behälter 1 
v1 - Füllgeschwindigkeit für Behälter 1 
v2 - Auslaufgeschwindigkeit für Behälter 1 
v3 - Füllgeschwindigkeit für Behälter 2 
v4 - Auslaufgeschwindigkeit für Behälter 2

Bekannte Bedingungen: 
In den Wechselzeiten erfolgt kein Zufluß (v1 = 0, v2 = 0)
Behälter 1 muss befüllbar sein (v1 > v2)
Behälter 2 muss befüllbar sein (v3 > v4)

unbekannte Bedingungen:
damit das System funktioniert müssen noch weitere Bedingungen erfüllt sein. 
Zusammenhang von v1 und v2 zu v3 und v4

Unbekannte Variablen: 
t1F - Füllzeit Behälter 1 
t2F - Füllzeit Behälter 2 
t1w - Wartezeit in der Behälter 1 nich befüllt werden muss
t2w - Wartezeit in der Behälter 2 nich befüllt werden muss

bekannte Zusammenhänge:
t1A - Auslaufzeit der Behälter 1    : t1A = t1+t2+t1F+t2F+t1w 
t2A - Auslaufzeit der Behälter 2    : t2A = t1+t2+t1F+t2F+t2w 
F1A - Auslaufvolumen Behälter 1 : F1A = t1A * v2 
F2A - Auslaufvolumen Behälter 2 : F2A = t2A * v4
F1F - Füllvolumen Behälter 1       : F1F = t1F * (v1-v2)
F2F - Füllvolumen Behälter 2       : F2F = t2F * (v3-v4)
F1F = F1A
F2F = F2A

sich daraus ergebende Gleichungen:
t1F * (v1-v2) = (t1+t2+t1F+t2F+t1w) * v2
t2F * (v3-v4) = (t1+t2+t1F+t2F+t2w) * v4

4 Unbekannte und nur 2 Gleichungen. Es fehlen also noch 2 Gleichungen die ich nicht erfassen kann. Also die oben beschriebenen unbekannten Bedingungen.

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Beim " Überfliegen " deiner beiden
Kommtartexte fiel mir auf

Warum führst zu die Zeiten tw.. ein ?

- Aufrehung eines Hahns für Behälter 1
- t1F -  Zulaufzeit Behälter 1 mit v1
- t1 = Zeit zwischen Abstellung Zulauf 1 und
Aufsperrung Zulauf 2
- t2F Zulaufzeit Behälter 2 mit v3
- t2 = Zeit zwischen Abstellung Zulauf 1 und
Aufsperrung Zulauf 2

geht gleich weiter

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Hier eine Skizze

1 Ausgangszustand mit den Füllhöhen F1 und F2
2 nach Zulauf Behälter 1 : Zeit t1F
3 nach Wartezeit t1
4 nach Zulauf Behälter 2 : Zeit t2F
5 nach Wartezeit t2

Der Ausgangszustand ist wieder erreicht.

Der Ablauf erfolgt stetig.

Richtig ?

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Grunsätzlich richtig.

Auf Grund der unterschiedlichen Geschwindigkeiten kann es aber sein, dass ein Behälter nicht die ganze Zeit befüllt werden muss. Somit entsteht eine Wartezeit für einen Behälter nachdem dieser auf den benötigten Füllstand gebracht wurde.

Würde die ganze Zeit befüllt werden steigt der Füllstand eines Behälters bei jedem Zyklus.

Bsp.

B1 wird auf 5l befüllt

B2 wird auf 10l befüllt

B1 ist noch nicht leer. Entweder wird nun gewartet und bei Füllstand 0 wieder befüllt, oder es wird wieder auf 5l befüllt und dann gewartet.

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Schon einmal vorab

was ist denn das Maß für den Zulauf

- v1 * tf1

oder

- es wird auf eine bestimmte Füllhöhe
( Markierung am  Behälter ) aufgefüllt  ?

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Grundsätzlich müßte gelten

Bekannt / Konstant / liegen fest
t1 - Wechselzeiten von Behälter 1 auf Behälter 2 
t2 - Wechselzeiten von Behälter 2 auf Behälter 1 
v1 - Füllgeschwindigkeit für Behälter 1 
v2 - Auslaufgeschwindigkeit für Behälter 1 
v3 - Füllgeschwindigkeit für Behälter 2 
v4 - Auslaufgeschwindigkeit für Behälter 2

Gesamtzeit des Zyklus
tf1 + t1 + tf2 + t2

Behälter 1 : Zuflussmenge = Abflußmenge
v1 * tf1 = v2 * (  tf1 + t1 + tf2 + t2 )

Behälter 2 : Zuflussmenge  = Abflußmenge
v3 * tf2 = v4 * (  tf1 + t1 + tf2 + t2 )

Es gibt 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
Müßte also lösbar sein.

Wenn du den Ansatz auch erstmal  für richtig
hältst dann gib einmal die Konstanten an.

Randbedingungen wie " Füllhöhe darf nicht
höher als Behälterhöhe sein "  usw
könnten wir später noch einbauen.

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Uups da wer noch ein Tippfehler

FF1 = (tR1+tR2+tw1) * (vF1-vA1) / (vF1/vA1 - 2)

FF2 = (tR1+tR2+tw1) * (vF2-vA2) / (vF2/vA2 - 2)

Answer 1

gestern Abend habe ich noch eine Erkenntnis und konnte das Problem lösen. Der Trick ist, dass der Behälter mit der langsamsten Auffüllgeschwindigkeit keinen Bezug zum anderen Behälter hat. Die schnellere Auffüllgeschwindigkeit geht sozusagen in der langsameren Auffüllgeschwindigkeit unter tF1 = tF2 + tW2. tW1 = 0

Hier nochmal die komplette Angebe inklusive Lösung zur späteren Reverenz. Ich hab die Variablenbezeichnungen nochmal angepasst damit der Syntax stimmt:

Bekannte Konstanten:

tR1 - Rüstzeit von Behälter 1 auf Behälter 2

tR2 - Rüstzeit von Behälter 2 auf Behälter 1

vF1 - Füllgeschwindigkeit für Behälter 1

vA1 - Auslaufgeschwindigkeit für Behälter 1

vF2 - Füllgeschwindigkeit für Behälter 2

vA2 - Auslaufgeschwindigkeit für Behälter 2

Unbekannte Variablen:

tF1 - Füllzeit Behälter 1

tF2 - Füllzeit Behälter 2

Bekannte Bedingungen:

In den Wechselzeiten erfolgt kein Zufluß (vF1 = 0, vA1 = 0)

Behälter 1 muss befüllbar sein  (vF1 > vA1)

Behälter 2 muss befüllbar sein  (vF2 > vA2)

Auffüllgeschwindigkeit von Behälter 1 darf nicht größer als die Auffüllgeschwindigkeit von Behälter 2 sein (vF1 - vA1 <= vF2 - vA2)

Die Füllvolumen der einzelnen Behälter müssen gleich den Auslaufvolumen sein (FF1 = FA1, FF2 = FA2)

bekannte Zusammenhänge:

tA1 - Auslaufzeit der Behälter 1                            : tA1 = tR1+tR2+tF1

tA2 - Auslaufzeit der Behälter 2                            : tA2 = tA1

FA1 - Auslaufvolumen Behälter 1                             : FA1 = tA1 * vA1

FA2 - Auslaufvolumen Behälter 2                             : FA2 = tA1 * vA2

FF1 - Füllvolumen Behälter 1                                : FF1 = tF1 * (vF1-vA1)

FF2 - Füllvolumen Behälter 2                                : FF2 = tF2 * (vF2-vA2)

tW1 - Wartezeit in der Behälter 1 nich befüllt werden muss  : tW1 = 0

tW2 - Wartezeit in der Behälter 2 nich befüllt werden muss  : tW2 = tF1 - tF2

sich daraus ergebende Gleichungen:

         FF1    =       FA1

tF1 * (vF1-vA1) =       tA1     * vA1

tF1 * (vF1-vA1) = (tR1+tR2+tF1) * vA1

         FF2    =       FA2

tF2 * (vF2-vA2) =       tA1     * vA2

tF2 * (vF2-vA2) = (tR1+tR2+tF1) * vA2

Lösung:

tF1 = (tR1 + tR2) / (vF1/vA1 - 2)

tF2 = (tR1 + tR2 + tF1) / (vF2/vA2 - 2)

FF1 = (tR1 + tR2) * (vF1-vA1) / (vF1/vA1 - 2)

FF2 = (tR1 + tR2 + tF1) * (vF2-vA2) / (vF2/vA2 - 2)

Zuerst muss tF1 des Behälter 1 (mit der langsameren Auffüllgeschwindigkeit) berechnet werden. Danach tF2 des schnelleren Behälters

Nun noch die Füllvolumen ausrechnen, fertig! :D

Comments

Schön, dass dir eine Lösung für das
Problem eingefallen ist.