Gleichung einer Geraden ist \(\vec{x} = \vec{a} + r\vec{b}\) mit Stützvektor \(\vec{a}\) und Richtungsvektor \(\vec{b}\). Es müssen \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) bestimmt werden.
> die Gerade g durchstößt die xy-Ebene im Punkt P(1;1;0)
Es kann \(\vec{a} = \vec{OP} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) gewählt werden.
> Außerdem schneidet g die z-Achse
Der Punkt \(Z(0; 0; z)\) liegt also auf g. Der Wert von \(z\) muss noch bestimmt werden. Als Richtungsvektor kann allerdings \(\vec{b} = \vec{PZ} = \begin{pmatrix}-1\\-1\\z\end{pmatrix}\) gewählt werden.
> der Schnittwinkel beträgt alpha = 30 grad.
Die z-Achse steht senkrecht auf der xy-Ebene. Der Schnittwinkel von xy-Ebene und Gerade ist also der Winkel zwischen Ursprung O, Punkt P (Scheitelpunkt) und Punkt Z. Der Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Winkeln liefert demanch
\(\cos 30° = \frac{\vec{PO}\cdot \vec{PZ}}{\left|\vec{PO}\right|\cdot \left|\vec{PZ}\right|}\).
Einsetzen liefert
\(\cos 30° = \frac{\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1\\-1\\z\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}-1\\-1\\z\end{pmatrix}\right|}\).
Löse diese Gleichung nach z auf. Wähle von den Lösungen diejenige aus, die größer als 0 ist.
