Das ist eine Teleskopsumme.
wegen 1/k - 1/(k+1) = 1 / ( k *(k+1)) kannst du schreiben
∑ k=1 bis n über 1 / ( k *(k+1))
= ∑ k=1 bis n über 1 / k - ∑ k=1 bis n über 1 / (k+1)
= 1/1 + 1/2 + 1/3 + .... + 1/n - ( 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/ n + 1/ (n+1) )
Die Summanden heben sich ja fast alle weg und es bleibt nur
= 1 - 1/(n+1) Und für n gegen unendlich geht das gegen 1.
Also lim dn = 1
