Spiel mit Dame auf schwarzen Feldern

Question

Zwei Spieler setzen abwechselnd eine Dame, die auf einem schwarzen Feld steht und auch nur auf schwarze Felder gestellt werden darf. Gewonnen hat derjenige, der auf das (schwarze) Feld unten links setzen kann (Koordinaten (0;0)). Die Dame darf allerdings nur in südlicher, westlicher oder südwestlicher Richtung gezogen werden. Die Strategie des sicheren Siegers kennt sogenannte sichere Positionen. Diese haben zwei Merkmale: Sie sind von jedem Feld aus mit einem Zug erreichbar, nur nicht von einer sicheren Position aus. Welche Koordinaten haben die sicheren Positionen?

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Hallo Roland,

wieder 'ne nette Aufgabe - Danke dafür!

Ich unterstelle mal, dass Zugzwang herrscht, also jeder Spieler muss die Dame von ihrer Position weg bewegen, wenn er am Zug ist - richtig?

Answer 1

Die sicheren Positionen sind rot markiert:

Comments

Hallo Werner, schön. dass du dich überhaupt mit der Aufgabe beschäftigt hast. Deine Antwort ist richtig. Ich vergaß allerdings zu erwähnen, dass das Schachbrett nach Norden un d Osten theoretisch unbegrenzt ist und dass ein Formelpaar für die Koordinaten gesucht ist.

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S_n  =  ( x_n | y_n )   mit x_n = ⌊n·√2⌋ ,  y_n = 2n + x_n   und gespiegelt.

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Da ist er wieder, der große Andeuter. Die Lösung ist richtig. Wie wird sie gefunden?

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Die Lösung ist richtig.

Wie schön, dass du immer alles weißt.

Wie müssen denn wohl die 2en in meiner Formel verändert werden, wenn nicht jedes zweite, sondern z.B. jedes dritte Feld

oder jedes fünfte Feld

schwarz ist ?

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zu Rolands Frage:

Die sicheren Punkte haben die Koordinaten \(P(0;0)\), \(P(a_n;b_n)\) und \(P(b_n;a_n)\) , wobei \(a_n\) und \(b_n\) die beiden komplementären Beatty-Folgen sind mit \(r=\sqrt{2}\) und \(s=2+\sqrt{2}\). Es gilt

$$a_n=\lfloor n \cdot r\rfloor \quad b_n=\lfloor n \cdot s\rfloor \quad n \in \mathbb{N}$$

$$\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=1$$Und nach dem Rayleigh theorem sind beide Forderung erfüllt. Jeder sichere Punkt kann von einem 'unsicheren' durch einen Zug nach links oder einen Zug nach unten erreicht werden, da jede Zahl \(n \in \mathbb{N}\) genau einmal als Koordinate in den sicheren Punkten auftaucht.

Die Einmaligkeit stellt auch sicher, dass man mit keinem horizontalen oder vertikalen Zug von einer sicheren Position zu einer anderen kommt. Bleibt noch zu belegen, dass dies auch mit einem Zug nach südwesten nicht möglich ist.

.. ich denke da noch mal drüber nach.

Gruß Werner

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Jeder sichere Punkt kann von einem 'unsicheren' durch einen Zug nach links oder einen Zug nach unten erreicht werden

Das hast du nicht gezeigt und es stimmt ja auch nicht.

Rayleigh beweist, dass in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein sicherer Punkt liegt, aber dieser kann sich auch rechts oder oberhalb der aktuellen Position befinden und ist dann unerreichbar.

.. ich denke da noch mal drüber nach

Bei der Gelegenheit könntest du ja auch ergründen, welche Rolle die Verteilung der schwarzen Felder spielt und warum hier deshalb  r = √2  sein muss (vgl. meinen Denkanstoß an Roland).