Beweis von (a + b)/2 > √ (ab) mit Kontraposition

Question

Seien a und b positive reelle Zahlen. Beweisen Sie die folgende Behauptung durch Kontraposition: Wenn a ungleich b ist, gilt stets (a + b)/2 > √ ab (d.h. der arithmetische Mittelwert zweier positiver Zahlen ist stets größer als der geometrische Mittelwert). 

ich bin mir nicht ganz sicher ob ich es richtig gelöst habe kann mir vielleicht jemand ein beispiel geben

EDIT: In der Überschrift fehlende Klammern ergänzt.

Answer 1

a + b/2 > √ ab (d.h. der arithmetische Mittelwert zweier
positiver Zahlen ist stets größer als der geometrische
Mittelwert).

Ich nehme an es soll
( a + b ) / 2 > √ (ab)
heißen

Da links und rechts etwas positives steht kann
quadriert werden ohne das sich das Relationszeichen
ändert.

[ ( a + b ) / 2  ] ^2 >  √ (ab) ^2
( a^2 + 2ab + b^2 ) / 4 > ab
a^2 + 2ab + b^2  > 4 ab
a^2 - 2ab + b^2  > 0
( a - b ) ^2 > 0
Wenn a ungleich b ist,
dann ist der linke Term zum Quadrat
stets > 0

Comments

Danke das war sehr hilfeich!!!

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Gern geschehen.

Spruch des Tages
Wer allem gegenüber offen ist
kann nicht ganz dicht sein

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Wenn a ungleich b ist

Aber  Beweisen Sie die folgende Behauptung durch Kontraposition verlangt, dass gezeigt wird, dass aus (a + b)/2 ≤ √ ab folgt, dass a = b ist.