Zeigen, dass W UG von G ist

Question

Sei (G, *) eine Untergruppe und W ≠ ∅, W ⊆ G. Weiters sei

$$\left< W \right> =\left\{ { { w }_{ 1 } }^{ { k }_{ 1 } }\quad ...\quad { { w }_{ r } }^{ { k }_{ r } }:{ w }_{ i }\in W;\quad { k }_{ i }\in ℤ;r\in ℕ;i=1,2,..,r \right\} $$

Zu zeigen:

(i) (⟨W⟩;*) ist kleinste Untergruppe von (G,*), die die Menge W als Teilmenge enthält.

(ii) Es gilt die Beziehung

$$\left< W \right> =\begin{matrix} \bigcap { H }  \\ \begin{matrix} H\le G \\ W\subseteq H \end{matrix} \end{matrix}$$

Answer 1

Hi,

zu (i)

Wenn \( \left\langle W \right\rangle \) nicht die kleinste Untergruppe ist die \( W \) als Teilmenge enthält,  dann gibt es eine Untergruppe \( U \) mit
$$ W \subseteq U \le \left\langle W \right\rangle $$ und es ex. \( x \in \left\langle W \right\rangle \) mit \( x \notin U \). Da \( x \in \left\langle W \right\rangle \) gilt, folgt \( x \) hat folgende Darstellung \( x = w_1^{k_1} \cdots w_r^{k_r} \) mit \( w_i \in W \subseteq U \)

Weil \( U \) eine Untergruppe ist, folgt \( x \in U \) was ein Widerspruch ist. Also ist \( \left\langle W \right\rangle \) die kleinste Untergruppe die \( W \) enthält.

zu (ii)

Hier sind zwei Dinge zu zeigen
$$ (a) \quad \left\langle W \right\rangle \subseteq \bigcap_{W \subseteq H \le G} H $$ und
$$ (b) \quad \bigcap_{W \subseteq H \le G} H \subseteq \left\langle W \right\rangle $$
(a) Da \( \left\langle W \right\rangle \) die kleinste Untergruppe ist die \( W \) enthält und \( \bigcap_{W \subseteq H \le G} H \) ebenfalls eine Untergruppe ist die \( W \) enthält, gilt (a)

(b) Es wird der Durchschnitt über alle Untergruppen \( H \) gebildet die \( W \) enthalten, also auch über \( \left\langle W \right\rangle \). Damit gilt die Behauptung.