Integralrechnung Hilfe- Beispiel mit einer Schale

Question

Vielleicht kennt sich hier jemand aus:


4. Die Form einer Schale entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion f mit f(x) = Wurzel aus 3x +1 um die 1.Achse im Intervall [0;5] (Hinweis: Einheiten in cm!).

a) Zeichnen sie zunächst den Graphen!
b) Berechnen sie das Volumen dieser Schale.
c) In die Schale wird 0,1 Liter Wasser eingefüllt. Wie hoch steht das Wasser im Gefäß?
d) Welche Höhe muss die Schale mindestens haben, damit sie ¼ Liter Wasser fasst?
e) Berechnen sie das Volumen, das entsteht, wenn der Graph der Funktion f um die y-Achse
rotiert.

Integralrechnungen sind für mich an sich kein Problem.. Aber diese Angabe verwirrt mich leider zutiefest.. :/

Answer 1

a) Zeichnen sie zunächst den Graphen! 

b) Berechnen sie das Volumen dieser Schale. 

v(x) = pi * (3x + 1)
V(x) = 3/2·pi·x^2 + pi·x

V(5) = 85/2·pi = 133.5 cm^3

c) In die Schale wird 0,1 Liter Wasser eingefüllt. Wie hoch steht das Wasser im Gefäß? 

V(x) = 100
3/2·pi·x^2 + pi·x = 100
x = (√(pi + 600) - √pi)/(3·√pi) = 4.285 cm

d) Welche Höhe muss die Schale mindestens haben, damit sie ¼ Liter Wasser fasst? 

V(x) = 250
3/2·pi·x^2 + pi·x = 250
x = (√(pi + 1500) - √pi)/(3·√pi) = 6.958 cm

e) Berechnen sie das Volumen, das entsteht, wenn der Graph der Funktion f um die y-Achse rotiert.

y = √(3·x + 1)
3·x + 1 = y^2
3·x = y^2 - 1
x = 1/3·y^2 - 1/3
y = 1/3·x^2 - 1/3

Hier ist unklar wie mit dem Teil unter der x-Achse verfahren werden soll.

Comments

Warum wird bei dir bei Punkt b.) 

√3x+ 1    aus √↦π?

v(x) = pi * (3x + 1)

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Zunächst mal habe ich angenommen das y = √(3x + 1) gemeint war. Ohne Klammerung hätte sich die Wurzel auch nur auf die 3 beziehen können.

Nun ist die Kreisfläche, die sich durch die Rotation ergibt genau

pi * y^2

für y setze ich jetzt den obigen Term ein und erhalte

pi * √(3x + 1)^2 = pi * (3x + 1)

Das Quadrat und die Wurzel heben sich hier ja auf.

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ok danke! ( haben wir in der Zwischenzeit selbst herausgefunden xD)

1 Frage noch:

c) In die Schale wird 0,1 Liter Wasser eingefüllt. Wie hoch steht das Wasser im Gefäß?

V(x) = 100
3/2·pi·x2 + pi·x = 100   -> bis hierher klappt es ja!
x = (√(pi + 600) - √pi)/(3·√pi) = 4.285 cm

Wie kommst du auf x = (√(pi + 600) - √pi)/(3·√pi) ?? Woher kommen die 600?
Vlt könntest du das aufsplitten.. Wie du nach 3/2·pi·x2 + pi·x = 100 weitergerechnet hast

Wir bekommen für das Ergebnis 4,6

(√200 / 3π)..

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ich komme auf:

√ (100 / 1,5 • π +1)  = 4,184

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3/2·pi·x² + pi·x = 100
3/2·pi·x² + pi·x - 100 = 0

Das sieht aus wie eine quadratische Gleichung:

a = 3/2*pi
b = pi
c = -100

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

x1 = 4.285
x2 = -4.951

Schulisch langt es das auch dezimal auszurechnen.