Aloha :)
Vor der Ankunft von Bernd sind die Anteile wie folgt verteilt:$$\text{Max}=\frac13\quad;\quad\text{Bettina}=\frac13\quad;\quad\text{Kim}=\frac13$$
Jetzt kommt Bernd dazu.
Max und Bettina geben von ihrem Anteil jeweils \(\red{\frac13}\) ab und behalten \(\green{\frac23}\).
Kim gibt ihm von ihrem Anteil \(\red{\frac14}\) ab und behält \(\green{\frac34}\).
Die Kinder teilen also ihre bisherigen Anteile wie folgt auf:
$$\text{Max}=\frac13\cdot\left(\green{\frac23}+\red{\frac13}\right)=\underbrace{\frac13\cdot\green{\frac23}}_{\text{für Max}}+\underbrace{\frac13\cdot\red{\frac13}}_{\text{für Bernd}}=\underbrace{\green{\frac29}}_{\text{für Max}}+\underbrace{\red{\frac19}}_{\text{für Bernd}}$$
$$\text{Bettina}=\frac13\cdot\left(\green{\frac23}+\red{\frac13}\right)=\underbrace{\frac13\cdot\green{\frac23}}_{\text{für Bettina}}+\underbrace{\frac13\cdot\red{\frac13}}_{\text{für Bernd}}=\underbrace{\green{\frac29}}_{\text{für Bettina}}+\underbrace{\red{\frac19}}_{\text{für Bernd}}$$
$$\text{Kim}=\frac13\cdot\left(\green{\frac34}+\red{\frac14}\right)=\underbrace{\frac13\cdot\green{\frac34}}_{\text{für Kim}}+\underbrace{\frac13\cdot\red{\frac14}}_{\text{für Bernd}}=\underbrace{\green{\frac14}}_{\text{für Kim}}+\underbrace{\red{\frac{1}{12}}}_{\text{für Bernd}}$$
Die Aufteilung nachdem Bernd dazugekommen ist, sieht also so aus:$$\small\text{Max}=\green{\frac29}=\frac{8}{36}\quad;\quad\text{Bettina}=\green{\frac29}=\frac{8}{36}\quad;\quad\text{Kim}=\green{\frac14}=\frac{9}{36}\quad;\quad\text{Bernd}=\red{\frac19}+\red{\frac19}+\red{\frac{1}{12}}=\red{\frac{11}{36}}$$
Max und Bettina haben nun den kleinsten Anteil. Bernd hat den größten Anteil ;)
