> Wenn beide Limes übereinstimmen ist die Funktion doch in dem Punkt x0 (hier 0) stetig oder?
So ist es nicht!
Wie du oben selbst geschrieben hast, muss dieser übereinstimmende Grenzwert für die Stetigkeit in x0 auch noch mit dem Funktionswert f(x0) übereinstimmen.
> Gilt die Regel auch umgekehrt? Also keine Übereinstimmung gleich unstetig?
Dann ist sie mit Sicherheit nicht stetig. Von Unstetigkeit spricht man aber nur dann, wenn f in x0 (wie hier) überhaupt einen Funktionswert hat.
Und:
Die gegebene Funktion hat in x=0 zwei verschiedene einseitige GW, ist also dort nicht stetig.