Stetigkeit abschnittsweiser Funktion

Question

kurze Verständnisfrage...

g : (−∞ , 1 ] → ℝ  mit g(x)

(3x+1)/2  für x ≤ 0
(1/2x)*( √(1+x) - √(1-x) )  für x > 0

Ich möchte lediglich die Stetigkeit bzw. nicht Stetigkeit der Funktion zeigen.
Ich habe den linken Limes x → 0 (von minus ∞) und den rechten Limes x → 0 (von 1) berechnet und geschaut, ob diese gleich f(0) sind. Das ist bei mir nicht der Fall. Wenn beide Limes übereinstimmen ist die Funktion doch in dem Punkt x0 (hier 0) stetig oder? Gilt die Regel auch umgekehrt? Also keine Ubereinstimmung gleich unstetig? Bin da gerade etwas durcheinander...

Answer 1

Das ist bei mir nicht der Fall. Wenn beide Limes übereinstimmen ist die Funktion doch in dem Punkt x0 (hier 0) stetig oder? Gilt die Regel auch umgekehrt? Also keine Ubereinstimmung gleich unstetig?

So ist es !

Comments

Sicher?

Okay....dann muss die Musterlösung falsch sein.
Dort wird nämlich gesagt, dass die Funktion im gesamten Definitionsbereich stetig ist.

(oder ich habe falsch gerechnet...)

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> Wenn beide Limes übereinstimmen ist die Funktion doch in dem Punkt x0 (hier 0) stetig oder?

So ist es nicht!

Wie du oben selbst geschrieben hast, muss dieser übereinstimmende Grenzwert für die Stetigkeit in x₀ auch noch mit dem Funktionswert f(x₀) übereinstimmen.

> Gilt die Regel auch umgekehrt? Also keine Übereinstimmung gleich unstetig? 

Dann ist sie mit Sicherheit nicht stetig. Von Unstetigkeit spricht man aber nur dann, wenn f in x₀ (wie hier) überhaupt einen Funktionswert hat. 

Und: 

Die gegebene Funktion hat in x=0 zwei verschiedene einseitige GW, ist also dort nicht stetig.

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Ich weiß, dass es nicht für Stetigkeit aussreicht wenn linker Limes und rechter Limes gleich sind.
Der Funktionswert muss es auch sein.

Würdest du sagen, dass meine oben gezeigte Funktion im Def-Bereich stetig ist?

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nein, vgl. meinen letzten (erweiterten) Kommentar.

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Alles klar (hab verglichen).

Danke, hat mir auf jeden Fall alles weitergeholfen :)

Answer 2

( 3x +1 ) / 2  für x ≤ 0

Da diese Funktion auch für x = 0 gelten soll kann
eingesetzt werden

( 3 *0 + 1 ) / 2  = 1/2

(1/2x)*( √(1+x) - √(1-x) )  für x > 0
lim x −> 0(+)  [ (1/2*0)* ( √(1+0) - √(1-0)) ]

lim x −> 0(+)  [ 0 * ( 1 - 1)  ] = 0

Die Funktion ist nicht stetig.