Kartesisches Produkt von R^2

Question

folgende Frage stellt sich mir:

Wenn ich eine Menge M = R x R = R² habe.

Dann müssten Elemente dieser Menge doch Bsp. {(2,4),(5,9) }etc. sein.

Wenn ich jetzt von dieser Menge das das Kartesische Produkt bilde also M x M lande ich dann im R⁴ ?

mit Elementen wie {(2,5,7,8) (5,9,8,3)}  etc. ?

Danke vorab für die Hilfe :)

Answer 1

Hallo Daniel   ( ≠ Danielle, daran erinnere ich mich noch :-) ) ,

ℝ² x ℝ²  enthält Elemente wie  ( (1,2) , (3,4) ) , hat also Paare von Zahlenpaaren als Elemente.

Im Gegensatz zu

ℝxℝxℝxℝ  = ℝ⁴ = { (w, x, y, z) | w, x, y, z ∈ ℝ }  mit 4-Tupeln als Elemente.

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang, du hast ja ein super Gedächtnis :)

Ich grübel noch immer an der Aufgabe.Vielleicht kannst Du mir nochmal einen Tipp geben.

Also es geht darum, die höchst mögliche algebraische Struktur zu beweisen.

M = R X R = R ² 

Und nun die Sturktur für  (M,⊕)

⊕ := {(a,b)∈ M X M Ι a ⊕ b = (a1+b1,a2+b2)}

also ich wollte erstmal grundsätzlich verstehen, wie mann denn nun  als Bsp.  zwei Elemente dieser Menge addieren kann,

muss ich denn hier quasi als Bsp. ((1,2) , (3,4) ), ( (5,2), (3,8) )

(1,2) als a1 (3,4) als b1 (5,2) als a2 (3,8) als b2 ansehen und dann einfach nach diesem Prinzip ?

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Ja, eine Addition  ⊕₂:  ℝ² x  ℝ² →  ℝ² x  ℝ²

 kann man mit ⊕₁ : ℝ² → ℝ²  

( (1,2) , (3,4) )  ⊕₂ ( (5,2) , (3,8) )

=  ( ( (1,2) ⊕₁ (5,2) ) ,  ( (3,4) ⊕₁ (3,8) ) )

= ( ( 1+5 , 2+2 ) , (3+3 , 4+8) )

= ( (6,4) , (6,12) )

so definieren.

Answer 2

Es wird meistens identifiziert, \(((a,b),(c,d))=(a,b,c,d)\), weil Paare von Paaren gegenueber Quadrupeln nichts konzeptionell Neues bringen. Wenn man z.B. eine skalare Funktion \(f(x,y)\) mit \(x,y\in\mathbb{R}^2\) hat, dann schreibt man in der Analysis dafuer gerne \(f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}\).

Comments

Man sagt und schreibt auch gern und meistens  "die 3 Vektoren sind linear abhängig". Trotzdem ist diese Formulierung nicht korrekt, weil lineare Abhängigkeit als Eigenschaft einer Menge von Vektoren definiert ist. Solche Gewohnheiten sollten nicht als Begründung für die Missachtung von Definitionen dienen.

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Es gibt nicht mal eine einheitliche Definition des geordneten Paares, siehe etwa

https://de.wikipedia.org/wiki/Geordnetes_Paar#Darstellung_geordneter_Paare_als_Mengen

fuer einige Beispiele. Das ist auch egal. Alles, was man braucht, ist die Beziehung $$(a,b)=(c,d)\Longleftrightarrow\text{$a=c\,\,$ und $\,\,b=d$}.$$ Jede Definition, bei der das so rauskommt, ist ok, weil keiner was anderes in geordnete Paare reininterpretieren will. Insbesondere verfolgt man mit solchen Definitionen keine ontologischen Zwecke.

Wenn man das auf Paare von Paaren und Quadrupel uebertraget, muss man die auch nicht mehr unterscheiden wollen.

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Und 2 Vektoren im R^3 sind dann auch das Selbe wie 1 Vektor im R^6 ?

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Wenn Du meine Ausfuehrungen so liest, dass zwei Vektoren im \(\mathbb{R}^2\) dasselbe sind wie ein Vektor im \(\mathbb{R}^4\), dann kann ich Dir auch nicht weiterhelfen.

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Es ist ein deutlicher Unterschied zwischen \( f: \Bbb R^4 \to \Bbb R \) und \( f: \Bbb R^2 \times \Bbb R^2 \to \Bbb R \). Und \( ((a,b),(c,d)) \) ist ganz sicher nicht das Selbe wie \( (a,b,c,d) \).

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In jedem Fall ist \(\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\) in naheliegender Weise isomorph zu \(\mathbb{R}^4\) -- und zwar nicht nur als Menge, sondern auch unter Erhaltung des n-Tupel-Konzepts, siehe dazu oben. Mehr als das braucht ein Mathematiker aber gar nicht. Mehr will er sogar eigentlich gar nicht.

Du kannst Dir jetzt selber raussuchen, ob Du identifizieren willst oder nicht. Tu, was Dich gluecklich macht, und schau, was Du davon hast. Um was anderes geht's hier naemlich gar nicht.

Answer 3

{(2,4),(5,9)} X {(2,4),(5,9)}={((2,4),(2,4)); ((2,4),(5,9)); ((5,9),(5,9)); ((5,9),(2,4))} Es ergeben sich Paare von Paaren. Das kann man meiner Meinung nach nicht als Quadrupel schreiben.