Schnittpunkt 3 Ebenen zeigen

Question

Hallo die Aufgabe lautet so :

Gegeben seien zwei Ebenen E1 ={x∈R³ : <x,n1> = c1} und E2 ={x∈R³ : <x,n2> = c2}

in Normalvektorform. Wobei c1, c2 ∈ℝ und n1,n2 linear unabhängige Vektoren
im ℝ³ mit ||n1|| = ||n2|| = 1 seien. Weiters sei N={x∈R³ : <x,n1 x n2> = 0}. Beweisen sie,
dass die Vektoren n1,n2, n1 x n2 linear unabhängig im R³ sind und dass ein z∈ R³ existiert,
so dass {z} = E1∩E2 ∩N gilt. Leiten sie eine explizite Formel fur den Schnittpunkt z her.

ich brauche hier jedoch nur mehr den Punkt " Leiten sie eine explizite Formel fur den Schnittpunkt z her."

Das z ein eindeutiger Punkt ist weiß ich schon über Rang , Kern usw , und man könnte das z auch so darstellen:

z=(n1,n2,n1 x n2)^-1*(c1,c2,0)^T , n1,n2,n1 x n2 sind zeilen der Matrix .

bzw. über zwei Schnittgeraden g und h ,wobei

g:E1∩E2  = P1 +(n1 x n2)t|t∈R

und h:E2 ∩N =P2 +(n2x(n1 x n2))t|t∈R

jedoch ist dies wahrscheinlich nicht unter einer expliziten Formel gemeint .

Kann mir jemand helfen mit dieser Schnittformel?

Answer 1

Hilft das?

http://edoc.sub.uni-hamburg.de/haw/volltexte/2015/2822/pdf/BA_Schuet…

Seite 12

Comments

Hallo und Danke ! ah ich glaube worauf das hinausläuft , das ist doch nichts anderes wie die Cramersche Regel , wobei die Hauptdeterminante nicht 0 sein darf ( was bei mir nicht sein kann wegen vollem Rang). Wobei das minus wohl nur auf diese Thesis bezogen sein wird , in der Regel ist kein Minus vorhanden ,

https://de.wikipedia.org/wiki/Cramersche_Regel .

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Hi,

ja das ist die Cramersche Regel. Und das Minus kommt, wenn man die Ebenen so definiert

$$Ax+By+Cz+D=0$$ und nicht

$$Ax+By+Cz = D$$

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Ah ok!

Da stellt sich doch die Frage ob das invertieren einer Matrix nicht schneller geht als 4 Determinanten zu berechnen ?

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Eine explizite Lösung wäre ja auch

$$x = A^{-1} d$$

Ich weiss ja nicht was genau mit expliziter Lösung gemeint war.

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ich nehme an eine formel mit skalar bzw. kreuzproduken wo man nur noch einsetzen muss mit den bekannten vektoren :)

aber wenn man det (A) als <a1 x a2 ,a3 > definiert kommt man auch darauf .