Die Standardabweichung \(\sigma\) einer Zufallsgröße \(X\) kann bei diskreten Grundmengen \(\Omega\) und Erwartungswert \(\mu\) immer mit der Formel \(\sigma = \sqrt{\sum_{x\in\Omega} (x - \mu)^2\cdot P(X=x)}\) berechnet werden.
Kennt man die Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann kann man dieses Wissen natürlich nutzen. Ist \(X\) zum Beispiel \(n,p\)-binomialverteilt, dann ist \(P(X=x) = \begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}\cdot p^x\cdot(1-p)^{n-x}\). Einsetzen liefert dann \(\sigma = \sqrt{\sum_{x\in\Omega} (x - \mu)^2\cdot \begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}\cdot p^x\cdot(1-p)^{n-x}}\), was sich zu \(\sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p) }\) vereinfachen lässt.
