Varianz berechnen: Spezialfall des Verschiebungssatzes

Question

die normale Formel für die Berechnung der Varianz lautet:

s² = (1/(n-1)) * ∑(x_i - x)²

wobei x der Mittelwert ist.

Nun gibt es den s.g. Spezialfall des Verschiebungssatzes um die Varianz etwas einfacher zu berechnen bzw. z.B. etwas einfacher in den Taschenrechner einzutippen:

s² = (1/(n-1)) * ∑(x_i)²  - (n/(n-1)) * ∑(x)²

--> Es kommt bei mir hierbei immer ein leicht anderes Ergebnis raus. Das Gesamtergebnis am Ende (z.B. bei einem Hypothesentest) wird damit deutlich verfälscht. Ist diese Methode die Varianz zu berechnen nicht korrekt?

Danke und Gruß

Answer 1

Ich glaube, dass an deiner Formel was falsch ist:

s² = (1/(n-1)) * ∑(x_i)²  - (n/(n-1)) * ∑(x)²

Da ist wohl ein Summenzeichen zu viel, richtig scheint mir:

s² = (1/(n-1)) * ∑(x_i)²  - (n/(n-1)) * (x)²

Comments

Hi,

danke! Das meine ich natürlich.. Das Summenzeichen ist falsch - ergibt ja bei dem Mittelwert auch keinen Sinn! Aber das habe ich in meinen Berechnungen berücksichtigt.... Also daran liegt es nicht, habe nur die Formel hier falsch aufgeschrieben...

Gruß

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Mit welchen Werten hast du denn gerechnet, ich meine, dass es so

stimmen müsste.

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ich habe mit einigen Werten gerechnet, zuletzt mit einem einfachen Beispiel einer Stichprobe von drei Zahlen:

5, 10, 11 --> mit der "normalen" Formel komme ich auf 10,334 als Varianz und mit dem Verschiebungssatz auf 10,325. (Mittelwert 8,667).

Das ist zwar in diesem Beispiel noch nicht so eine große Differenz, aber es sind ja auch nur drei Werte... ich hatte bei anderen noch größere Abweichungen... Wenn dies Rundungen sind, dann ist es ja eigentlich nicht sinnvoll mit diesem Verschiebungssatz zu rechnen, da er das Ergebnis verfälscht?

!

LG

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Wenn du genau rechnest  mit x = 26/3 und die anderen Werte auch

mit Brüchen, dann gibt es in beiden Fällen  31/3 , also ungefähr 10,3333.

Du hattest ja nur drei Nachkommastellen. 

Nimm einfach ein paar mehr ( also benutze den

abgespeicherten Wert aus dem Taschenrechner ), dann sind die

Rundungsfehler kleiner.

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Ok nun klappt es... danke!
Ich hatte gedacht wenn ich in beiden Formeln als Mittelwert 8,667 nehme muss auch das gleiche Ergebnis raus kommen (da gleichermaßen auf 3 Stellen gerundet). Aber die Einzelwerte xi-x sind ja dadurch auch "verfälscht", was bei dem Verschiebungssatz nicht der Fall ist.

Besten Dank für deine Hilfe!

LG