Es gibt da einen alten Verbrechetertrick, der mir schon aus ganz anderen Kalamitäten geholfen hat: die ===> Inversion
z := 1 / n ( 1a )
G ( n ) = G ( z ) = ( 1 - z ) ^ 1 / z ( 1b )
In so Fällen hilft immer logaritmieren.
F ( z ) := ln ( G ) = ( 1 / z ) ln ( 1 - z ) ( 2a )
wobei natürlich jetzt z gegen Null geht. Und F ( z ) ist doch jetzt nichts weiter als der Differenzenquotient ( DQ ) der Funktion
f ( z ) := ln ( 1 - z ) ( 2b )
genommen zwischen z0 = 0 und der beliebigen Stelle z schlicht und ergreifend, weil f ( 0 ) = 0 . Und der Grenzwert dieses DQ , das wisst ihr, gibt die Ableitung f ' ( 0 )
f ' ( z ) = 1 / ( z - 1 ) ( 3a )
f ' ( 0 ) = ( - 1 ) ( 3b )
Wenn aber F in ( 2a ) , also der Logfaritmus gegen Minus Eins geht, geht G bzw. deine Folge selber gegen ( 1 / e ) Zusammen mit dem Exponenten 3 macht das also ( 1 / e ³ )
Was allerdings allgemein bekannt sein dürfte ( obwohl es sich analog rechnet )
lim ( 1 + 1 / n ) ^ n = e ( 4 )
Insgesamt sind wir also angelangt bei ( 1 / e ² )
Dass der Grenzwert von n / ( n+1 ) gleich Eins ist, lässt sich LMNTAr einsehen; die 3 im Exponenten macht den Kohl auch nicht mehr fett.