Folge auf Konvergenz untersuchen: Euler

Question

hallo zusammen,

ich brauche hilfe bei der Untersuchung dieser Folge auf Konvergenz:

Ich weiss, dass (1/n-1)ⁿ = e^-1  aber ich habe keine Idee,wie ich nun diese Folge auf Konvergenz untersuchen kann.

Im um jede hilfe dankbar ;)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Untersuchen auf Konvergenz. Habe den Hinweis (1- 1/n)^n --> e^{-1} nicht benutzt ! ?

Stichworte: eulersche,potenzgesetze,konvergenz,reihe,folge,grenzwert

ich habe jetzt mal versucht hier den Grenzwert zu bestimmen und habe Folgendes raus, ich bin mir aber unsicher ob es richtig ist, da ich den 'Hinweis' gar nicht genutzt habe und auch gar nicht wüsste wie der zu gebrauchen wäre :/ . Also meine Frage lautet ist meine Lösung richtig und wie würde sie lauten mit Nutzung des Hinweises

Answer 1

Hallo je,

aus dem Grenzwertsatz für Produktfolgen ergibt sich direkt:

 lim_n→∞ [ (1 - 1/n)³ⁿ * (1 + 1/n)^n-3 ]  

=  [ lim_n→∞ (1 - 1/n) ]³  *  lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ  /  lim_n→∞ (1 + 1/n)³

=  (e^-1)³ * e / 1  =   e^{-3 + 1} / 1   =   e^-2  =  1/e² 

Man kann sich das auch anschaulich klarmachen:

(1)   lim_n→∞  (1 - 1/n)ⁿ  =  e^-1

(2)   lim_n→∞  (1 - 1/n)³ⁿ   =   lim_n→∞  [ (1 - 1/n)ⁿ ]³ =  (e^-1)³  =  e^-3

        [ alle Folgenglieder a_n von (1)  und damit auch der GW  werden bei (2) mit 3                           potenziert ].

(3)   lim_n→∞  (1 + 1/n)ⁿ  =  e

(4)   lim_n→∞  (1 + 1/n)^n-3  =  lim_n→∞  [ (1 + 1/n)ⁿ /  (1 + 1/n)³ ]  = e

       [ alle Folgenglieder von (4) ergeben sich jeweils durch Division der                                           entsprechenden Folgenglieder von (3) durch (1 + 1/n)³ 

        (1 + 1/n)³ .→_n→∞  1,  der GW  bleibt also  e ] 

 lim_n→∞ [ (1 - 1/n)³ⁿ * (1 + 1/n)^n-3 ]  =  lim_n→∞ (1 - 1/n)³ⁿ  *  lim_n→∞ (1 + 1/n)^n-3 

  =  e^-3 * e  = e^-2

Gruß Wolfgang

       

Answer 2

Zunächst einmal:

"Ich weiss, dass (1/n-1)ⁿ = e^{-1}..."
Nöp.

(1-1/n)^n = e^{-1}

Dazu gilt noch:

(1+1/n) ^n = e

(Falls das noch nicht bewiesen wurde : Der Beweis lässt sich so ähnlich wie bei (1-1/n)^n ausführen)

Jetzt haben wir also:

lim a_n =lim  ( ((1-1/n)^n)^3  * (1+1/n) ^n : (1+1/n) ^3 )

Diese Grenzwerte der Faktoren existieren also berechnen wir sie einzeln:

= lim  ((1-1/n)^n)^3  * lim(1+1/n) ^n :  lim(1+1/n) ^3  =lim (1/e)^3 * e : 1 = e^{-3} * e * 1 = 1/e^2 

Answer 3

Du vermutest richtig. Du hast den Hinweis nicht benutzt. Daher ist deine Antwort falsch.
e ist die Eulersche Zahl (gibt es z.B. in deinen Unterlagen und auch auf Wikipedia).
(1 - 1/n)^3n = ((1- 1/n)^n)^3
Ausserdem solltest du auch den Limes_(n->unendlich) (1 + 1/n)^n in deinen Unterlagen finden.

Hinweis: Liefere den Text deiner Frage in einem Kommentar als Text nach. -> Schreibregeln. 

Answer 4

$$\lim_{n \to ∞} ((1-1/n)^{3n}·(1+1/n)^{n-3}$$$$=\lim_{n \to ∞} ((1-1/n)^{n})^3·(1+1/n)^n·(1+1/n)^{-3}$$$$=e^{-3}·e·1^{-3}= e^{-3}·e·1=e^{-2}$$

Gruß Wolfgang

Answer 5

  Es gibt da einen alten Verbrechetertrick, der mir schon aus ganz anderen Kalamitäten geholfen hat:  die ===>  Inversion

      z  :=  1 / n   (  1a  )

   G  (  n  )  =  G  (  z  )  =   (  1  -  z  )  ^  1 / z     (  1b  )

     In so Fällen hilft immer logaritmieren.

     F  (  z  )  :=  ln  (  G  )  =  ( 1 / z )  ln  (  1  -  z  )     (  2a  )

     wobei natürlich jetzt z gegen Null geht. Und F ( z ) ist doch jetzt nichts weiter als der Differenzenquotient ( DQ )  der Funktion

      f  (  z  )  :=   ln  (  1  -  z  )         (  2b  )

   genommen zwischen  z0  =  0 und der beliebigen Stelle z schlicht und ergreifend,  weil  f  ( 0 ) = 0  .  Und der Grenzwert dieses DQ , das wisst ihr, gibt die Ableitung  f  '  (  0  )

          f  '  (  z  )  =  1 / (  z  -  1  )       (  3a  )

          f  '  (  0  )  =  (  -  1  )     (  3b  )

      Wenn aber  F in ( 2a )  , also der Logfaritmus  gegen Minus Eins geht, geht G bzw. deine Folge selber gegen ( 1 / e )  Zusammen mit dem Exponenten  3 macht das also  ( 1 / e ³ )

    Was allerdings allgemein bekannt sein dürfte ( obwohl es sich analog rechnet )

     lim    (  1  +  1 / n  )  ^  n  =  e       (  4  )

    Insgesamt sind wir also angelangt bei ( 1 / e  ²  )

   Dass der Grenzwert von n / ( n+1 )  gleich Eins ist, lässt sich LMNTAr einsehen; die 3 im Exponenten macht den Kohl auch nicht mehr fett.