Eine Folge auf Konvergenz untersuchen (Euler).

Question

Aufgabe: Ich möchte eine Folge auf Konvergenz untersuchen (Euler).

\( \lim\limits_{n\to\infty} \). \( \frac{n+4}{n+3} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe mir den Bruch auseinander gezogen. (\( \frac{(n+3)+1}{n+3} \))ⁿ. (\( \frac{n+3}{n+3} \) + \( \frac{1}{n+3} \))ⁿ

(1+\( \frac{1}{n+3} \))ⁿ

Jetzt ist aber meine Frage, wie in den Exponenten auch wieder n+3 hineinbekomme, damit ich als Grenzwert e bekomme. Denn ich kann doch nicht einfach n+3 in den Exponenten schreiben, ohne weiter Rechnung, oder?

Danke Zeppi

Answer 1

Hallo,

schreibe n=(n+3)-3 und spalte \(a_n\) mit Hilfe der Potenzgesetze in ein Produkt auf.

Gruß Mathhilf

Comments

Danke, aber wo genau?

Hier ? (1+\( \frac{1}{n+3} \))ⁿ

So? (1+\( \frac{1}{n+3} \))^(n+3)-3 = (1+\( \frac{1}{n+3} \))ⁿ * (1+\( \frac{1}{n+3} \))³ / (1+\( \frac{1}{n+3} \))³

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So nicht, ich habe doch extra geklammert, Du willst doch einen Expnenten n+3 haben

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Hm.

SO? (1+\( \frac{1}{n+3} \))⁽ⁿ⁺³⁾ / (1+\( \frac{1}{n+3} \))³ .

Falls ich dich richtig verstanden habe, denn jetzt ist der Exponent n+3 und der hintere Teil (1+\( \frac{1}{n+3} \))³ läuft bei \( \lim\limits_{n\to\infty} \) in Richtung 1. Also man teilt quasi durch 1.

Aber wieso Produkt, bei Potenz minus, dividiert man doch. Aber auch wenn ich daraus ein Produkt mache, kommt ja dasselbe heraus, durch die 1.

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Ja, so meinte ich das.

Und ja, ich habe den Bruch als Produkt mit negativer Potenz gesehen.

Übrigens hast Du am Anfang der Aufgabenstellung den Exponenten vergessen, ich hoffe, der enthält nicht noch eine böse Überraschung.

Gruß Mathhilf

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Danke für die schnelle Hilfe.

Hast recht ich habe den Exponenten vergessen, aber der ist hoch n.

Aber nachträglich kann ich leider nichts mehr ändern.

Gruß Zeppi