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Hey!

Wir behandeln die p-q-Formel schon seit ein paar Jahren im Unterricht, doch so richtig kapiert habe ich sie irgendwie nie.

Ich brauche jemanden, der mir alles von Grund auf erklärt, das wäre echt unglaublich lieb!

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Da ich nicht weiß, wie sehr du fit bist, habe ich einmal eine sehr ausführliche Beschreibung dessen, was dahinter steckt geschrieben.

Falls das zu viel ist, hier die Kurzfassung: Es steckt die quadratische Ergänzung dahinter.

Sonst:


Wir haben eine quadratische Gleichung der Form:
x^2+px+q = 0


Jetzt wollen wir dies nach x umformen. Durch Äquivalenzumformungen wird das ganze erstmal nicht möglich sein, da hier x^2 und x als Summand auftaucht.

Wenn da jetzt sowas wie (x+d)^2 = a stehen würde, könnten wir relativ einfach auflösen, indem wir die positive und negative Wurzel von dem linken benutzen: (x+d) = Wurzel (a)    oder (x+d) = -Wurzel(a) .


x^2+px+q sieht ja so ein bisschen nach binomischer Formel aus (x+d)^2 = x^2 +2dx+d^2


Sagt dir die quadratische Ergänzung nun etwas?
Sagen wir, ich habe:
x^2+ 4x+ 1
Dies ist keine binomische Formel. Wenn ich die Formel ergänze, kann ich dies aber zu einer binomischen Formel machen:
Ich addiere 1 und ziehe 1 wieder ab.(Rechne also +0 und verändere somit nichts)
x^2+ 4x+ 1 +1 -1 = x^2+ 4x+ 2 - 1
Der rote Teil ist jetzt eine binomische Formel nämlich:
(x+2)^2
Somit würde ich erhalten:
x^2+ 4x+ 1= (x+2)^2 + 2


Genau diese vorgehensweise wenden wir jetzt allgemein an, auf x^2+px+q. Wir wollen so ergänzen, dass wir eine binomische Formel erhalten.

Und das ist genau das, was die pq-Formel aussagt bzw. das was bei der Formel gemacht wurde.
Falls du es ganz genau haben möchtest:


(x+b)^2 = x^2 + 2xb + b^2

x^2+px +q soll nun eine binomische Formel werden.
Vergleichen wir mit dem obigen Term stückweise(habe Teile, die gleich sein müssen auch mal eingefärbt):
x^2 stimmt schon mal in beiden überrein.
px muss nun 2xb sein, also:

2xb = px
2b = p
b = p/2
Also können wir schauen dass wir eine binoische Formel in der Art (x+p/2)^2 per quadratische Ergänzung erhalten.

Da b = p/2 , muss b^2 = (p/2)^2 sein.

Wir haben aber nur noch q über in der allgemeinen Gleichung. Wie ergänzen wir nun , um von q auf (p/2)^2 zu kommen?
Ganz einfach, wir rechnen - q und erhalten 0 und addieren anschließen einfach (p/2)^2 drauf:

q - q + (p/2)^2 = (p/2)^2

Ergänzen wir das ganze mal mit dem, was wir gerade heraus bekommen haben:

x^2+px+q + (- q + (p/2)^2 ) - (- q + (p/2)^2)

Den ersten teil ziehen wir nun zusammen zur binomischen Formel:

(x+p/2)^2 + q - (p/2)^2

Jetzt schnappen wir uns unsere obige Gleichung und setzen für die Linke seite ein und formen um:


x^2+px+q = 0

(x+p/2)^2 + q - (p/2)^2 = 0 | +(p/2)^2 - q

(x + p/2) ^2 =  (p/2)^2 - q

Jetzt wissen wir wie oben, dass das zwei Lösungen hat:

x + p/2 = +Wurzel ( (p/2)^2 - q)       oder x + p/2 = -Wurzel ( (p/2)^2 - q) 

Das fassen wir als +- zusammen und holen p/2 rüber:

x= -p/2 +- +Wurzel ( (p/2)^2 - q)

Und wir sehen also, dass die pq-Formel eine allgemeine Lösung unserer Gleichung gibt.

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x^2+p*x + q=0| - q


x^2+p*x = - q| + quadratische Ergänzung (\( \frac{p}{2} \) ) ^2


x^2+p*x +(\( \frac{p}{2} \) ) ^2 = - q+(\( \frac{p}{2} \) ) ^2


(x+\( \frac{p}{2} \)) ^ 2 = - q + \( \frac{p^2}{4} \) =  \( \frac{p^2-4q}{4} \)


x₁  =  -\( \frac{p}{2} \)  +   \( \frac{1}{2} \)*\( \sqrt{p^2-4q} \)


x₂ =  -\( \frac{p}{2} \) - \( \frac{1}{2} \)*\( \sqrt{p^2-4q} \)

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