Da ich nicht weiß, wie sehr du fit bist, habe ich einmal eine sehr ausführliche Beschreibung dessen, was dahinter steckt geschrieben.
Falls das zu viel ist, hier die Kurzfassung: Es steckt die quadratische Ergänzung dahinter.
Sonst:
Wir haben eine quadratische Gleichung der Form:
x^2+px+q = 0
Jetzt wollen wir dies nach x umformen. Durch Äquivalenzumformungen wird das ganze erstmal nicht möglich sein, da hier x^2 und x als Summand auftaucht.
Wenn da jetzt sowas wie (x+d)^2 = a stehen würde, könnten wir relativ einfach auflösen, indem wir die positive und negative Wurzel von dem linken benutzen: (x+d) = Wurzel (a) oder (x+d) = -Wurzel(a) .
x^2+px+q sieht ja so ein bisschen nach binomischer Formel aus (x+d)^2 = x^2 +2dx+d^2
Sagt dir die quadratische Ergänzung nun etwas?
Sagen wir, ich habe:
x^2+ 4x+ 1
Dies ist keine binomische Formel. Wenn ich die Formel ergänze, kann ich dies aber zu einer binomischen Formel machen:
Ich addiere 1 und ziehe 1 wieder ab.(Rechne also +0 und verändere somit nichts)
x^2+ 4x+ 1 +1 -1 = x^2+ 4x+ 2 - 1
Der rote Teil ist jetzt eine binomische Formel nämlich:
(x+2)^2
Somit würde ich erhalten:
x^2+ 4x+ 1= (x+2)^2 + 2
Genau diese vorgehensweise wenden wir jetzt allgemein an, auf x^2+px+q. Wir wollen so ergänzen, dass wir eine binomische Formel erhalten.
Und das ist genau das, was die pq-Formel aussagt bzw. das was bei der Formel gemacht wurde.
Falls du es ganz genau haben möchtest:
(x+b)^2 = x^2 + 2xb + b^2
x^2+px +q soll nun eine binomische Formel werden.
Vergleichen wir mit dem obigen Term stückweise(habe Teile, die gleich sein müssen auch mal eingefärbt):
x^2 stimmt schon mal in beiden überrein.
px muss nun 2xb sein, also:
2xb = px
2b = p
b = p/2
Also können wir schauen dass wir eine binoische Formel in der Art (x+p/2)^2 per quadratische Ergänzung erhalten.
Da b = p/2 , muss b^2 = (p/2)^2 sein.
Wir haben aber nur noch q über in der allgemeinen Gleichung. Wie ergänzen wir nun , um von q auf (p/2)^2 zu kommen?
Ganz einfach, wir rechnen - q und erhalten 0 und addieren anschließen einfach (p/2)^2 drauf:
q - q + (p/2)^2 = (p/2)^2
Ergänzen wir das ganze mal mit dem, was wir gerade heraus bekommen haben:
x^2+px+q + (- q + (p/2)^2 ) - (- q + (p/2)^2)
Den ersten teil ziehen wir nun zusammen zur binomischen Formel:
(x+p/2)^2 + q - (p/2)^2
Jetzt schnappen wir uns unsere obige Gleichung und setzen für die Linke seite ein und formen um:
x^2+px+q = 0
(x+p/2)^2 + q - (p/2)^2 = 0 | +(p/2)^2 - q
(x + p/2) ^2 = (p/2)^2 - q
Jetzt wissen wir wie oben, dass das zwei Lösungen hat:
x + p/2 = +Wurzel ( (p/2)^2 - q) oder x + p/2 = -Wurzel ( (p/2)^2 - q)
Das fassen wir als +- zusammen und holen p/2 rüber:
x= -p/2 +- +Wurzel ( (p/2)^2 - q)
Und wir sehen also, dass die pq-Formel eine allgemeine Lösung unserer Gleichung gibt.
