Vereinigung von Mengen: Eine Frage mit der ich mich schon lange beschäftige... unendliche Mengen?

Question

Jede Vereinigung endlich vieler Mengen ist ja endlich.Ist dann jede Vereinigung unendlich vieler paarweise verschiedener Mengen unendlich ?

Könnte mir da jemand weiterhelfen ?

Ein Beispiel damit ich das nachvollziehen kann,wäre ebenfalls sehr nett haha bringt ja nichts wenn ich es nicht verstehe xD

Answer 1

Ist  jede Vereinigung unendlich vieler paarweise verschiedener Mengen unendlich ?

Das gilt bereits, wenn jede der unendlich vielen verschiedenen Mengen nur eín Element hat. Die Vereinigungsmenge hat dann aus jeder Menge ein Element. Und das sind unendlich viele Elemente.

Nebenbei: Was ist mit "paarweise verschiedene Mengen" gemeint? Sind die Mengen disjunkt? Unterscheidet sich jedes Mengenparr mindestens in einem Element - oder sogar in allen Elementen?

Answer 2

Vereinigt man mehrere Mengen, dann ist jede an der Vereinigung beteiligte Menge Teilmenge der resultierenden Menge.

Ist eine Menge endlich, dann hat sie nur endlich viele Teilmengen. Sie kann also nur dadurch entstanden sein, das endlich viele paarweise verschiedene Mengen vereinigt wurden.

Also muss jede Vereinigung unendlich vieler paarweise verschiedener Mengen unendlich sein.