Existieren die Regelintegrale

Question

Ich stehe ein wenig auf dem schlauch...also ich würde behaupten zu allen 3 funktionen existieren Regelintegrale, denn bei a) ist f eine Zusammensetzung stetiger Funktionen, bei b) würde ich sagen dass f eine ln funktion ist und somit stetig und das regelintegral existiert, bei c) existiert es, da wir das Regelintegral berechnen sollen, aber warum? dort steht g(x)=1/q aber dann ist doch g gar nicht abhängig von x, also quasi konstant oder wie? und bei der berechnung des Regelintegrals bin ich auch aufgeschmissen, ich hoffe mir kann jemand helfen, danke schon mal :)

Answer 1

> bei a) ist f eine Zusammensetzung stetiger Funktionen

Das ist richtig. Du solltest aber noch darauf eingehen, warum der rechtsseitige Grenzwert für x→0 existiert.

> bei b) würde ich sagen dass f eine ln funktion ist

f ist keine ln funktion. f(x) ist x² · sin(1/x), außer bei x=0, wo f(x) = 0 ist.

> bei c) existiert es, da wir das Regelintegral berechnen sollen

Leider steht danach "falls existent". Tipp. Die Funktion heißt Thomaesche Funktion und sie ist an den rationalen Stellen unstetig und an den irrationalen Stellen stetig.

> dort steht g(x)=1/q aber dann ist doch g gar nicht abhängig von x, also quasi konstant oder wie?

Beispiele.

• g(8/12) = 1/3 weil 8/12 in vollständig gekürzter Darstellung 2/3 ist (also p=2 und q=3) und der Nenner dieses Bruches 3 ist.
• g(9/12) = 1/4 weil 9/12 in vollständig gekürzter Darstellung 3/4 ist (also p=3 und q=4) und der Nenner dieses Bruches 4 ist.
• g(2/√2) = 0 weil 2/√2 irrational ist.