Hallo gc,
du musst für U ⊂ ℝ4 folgende jeweils "Unterraumkriterien" prüfen:
1) (0,0,0,0) ∈ U
2) Abgeschlossenheit bzgl. Addition
3) Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation mit reellen Zahlen.
(a) 1) (0,0,0,0) ∈ U1
2) für x,y ∈ U1 ist x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3, + y3 , x4 + y4 )
x2 + y2 + x3 + y3 = x2 + x3 + y2 + y3 = 3x4 + 3y4 = 3 * ( x4 + y4)
3) für x ∈ U1 und r ∈ ℝ gilt: r*x = ( r*x1 , r*x2 , r*x3 , r*x4 )
r*x2 + r*x3 = r * ( x2 + x3 ) = r * x4
U1 ist also Unterraum von ℝ4
(b) 1) (0,0,0,0) ∉ U → U2 ist kein Unterraum von ℝ4
(c) 3) √2 * (0,0,1,0) = (0,0,√2,0) , √2 ∉ ℚ → U3 ist kein Unterraum von ℝ4
Gruß Wolfgang