Numerik Parabel und Simpsonregel

Question

Hallo ! Ich brauche Hilfe zu Numerik I . Ich habe die folgende Aufgabe

Das Simpson-Regel weiss ich schon,leider habe ich keine Ahnung wie ich es anwenden kann.Kann mir jemand paar Tipps geben , wie ich bei solchen Aufgaben vorgehen kann

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jemand Idee ?

Answer 1

Ich nehme mal den Fall: "nach unten geöffnete Parabel " (Bild 1))

hellgraue und dunkelgraue

Fläche zusammen ergibt sich durch

zwei Trapeze  jeweils nach der Formel

A = Mittelparallele * Höhe

F1 = 1/2 * ( f(a) + f((a+b)/2) ) * ( (a+b)/2 - a )  

      =  1/2 * ( f(a) + f((a+b)/2) ) * (b-a)/2 
 
      =  1/4 * ( f(a) + f((a+b)/2) ) * (b-a)     

und  entsprechend


F2 = 1/4 * ( f(b) + f((a+b)/2) ) *  (b-a)   also

F1 +F2 = 1/4 *(b-a) * ( f(b) +  2*  f((a+b)/2) + f(b)  )

andererseits:

A_T  = Trapezfläche

       = 1/2 * ( f(b) + f(a) ) * ( b-a)

Und damit: 


A_D =  Gesamtfläche  - A_T 
     = 1/4 *(b-a) * ( f(b) +  2*  f((a+b)/2) + f(b)  )  - 1/2 * ( f(b) + f(a) ) * ( b-a)
= 1/4 *(b-a) * ( f(b) +  2*  f((a+b)/2) + f(b)  )  - 1/4 * ( 2f(b) + 2f(a) ) * ( b-a)
= 1/4 *(b-a) * ( f(b) +  2*  f((a+b)/2) + f(b) - 2f(b) - 2f(a) ) 

= 1/4 *(b-a) * (   -  f(b) +  2*  f((a+b)/2)   -  f(b) )



Damit wäre   A_T + (4/3) *  A_D

       = 1/2 * ( f(b) + f(a) ) * ( b-a) + (4/3)* (1/4) *(b-a) * (  - f(b)  + 2*  f((a+b)/2)   - f(b) )

= 1/2 * ( f(b) + f(a) ) * ( b-a) + (1/3) *(b-a) * (  -  f(b)  + 2*  f((a+b)/2)  -  f(b) )

= 1/2 *(b-a) * ( f(b) + f(a) )  + (1/3) *(b-a) * (  - f(b)  +  2*  f((a+b)/2)   -  f(b) )

und damit es schon etwas nach Simpson aussieht, jetzt (b-a)/6 ausklammern

= ( (b-a)/6 ) * (   (3 f(b) + 3f(a) )  -    2f(b)  + 4*  f((a+b)/2)   -  2 f(b) )

= ( (b-a)/6 ) * (   f(b) + f(a) )    + 4*  f((a+b)/2)    )

Also das gleiche Ergebnis wie Simpson, der ja

für Parabeln nicht nur einen Näherungswert,

sondern das genaue Ergebnis liefert.    q.e.d.

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Vielen Dank ! Du bist der Beste ! Immer eine ausfuehrliche Antwort .