Bestimmen Sie aus der partiellen Ableitungen erster Ordnung einer Funktion, die Funktion f(x,y)

Question

Die partiellen Ableitungen erster Ordnung einer Funktion f (x, y) lauten

$$ \frac { ∂ f(x,y) }{ ∂x }=4{ x }^{ 3 }y+4x-1 $$ und   $$ \frac { ∂ f(x,y) }{ ∂y }={ x }^{ 4 }+4y-3 $$

Außerdem gilt $$ f(3,1)=-5 $$

Bestimmen Sie aus obigen Angaben die Funktion f(x,y)  .

Answer 1

∫ (4·x^3·y + 4·x - 1) dx = x^4·y + 2·x^2 - x + c

∫ (x^4 + 4·y - 3) dy = x^4·y + 2·y^2 - 3·y + c

F(x, y) = x^4·y + 2·x^2 + 2·y^2 - x - 3·y + c

F(3, 1) = 3^4·1 + 2·3^2 + 2·1^2 - 3 - 3·1 + c = -5 --> c = -100

Die Funktion lautet

F(x, y) = x^4·y + 2·x^2 + 2·y^2 - x - 3·y - 100

Mache mal die Probe ob das so hinkommt oder ob ich mich irgendwo vertan habe.