Jo passt so.
Du hast ja oben auch schon den richtigen Ansatz gewählt.
Für die Stammfunktion F gilt:
dF/dx=4xy^2/(x^2+y^2)^2
Integrieren diesen Term nach dx (geht mit Substitution von x^2=v)
Man erhält i): F=-2y^2/(x^2+y^2)+C(y)
C(y) kann eine Funktion von y sein und ist noch unbekannt.
die zweite Gleichung lautet
dF/dy=-4x^2 y/(x^2+y^2)^2
Links setzt man den Ansatz i)
ein und bekommt
-4x^2 y/(x^2+y^2)^2+dC(y)/dy
=-4x^2 y/(x^2+y^2)^2
also dC(y)/dy=0 und somit ist C(y)=C
eine Konstante.
Also lautet F=-2y^2/(x^2+y^2)+C