Identische Mengen über Potenzmenge

Question

ich soll folgendes zeigen, weiß aber nicht wie ich das anstellen soll.

Ich soll die folgende Behauptung widerlegen bzw. beweisen: Zwei Mengen sind dann gleich bzw. identisch, wenn sie die identische Potenzmenge haben.

Vielen dank für die Hilfe

Comments

Das sollte eigentlich stimmen. Versuche es zu beweisen.

Answer 1

Seien A und B zwei Mengen und A=B.

Dann ist P(A) = { M |  M ⊆ A } = { M |  M ⊆ B}  =  P(M)

also haben gleiche Mengen auch gleiche Potenzmengen.

Seien nun  A und B zwei Mengen und P(A)=P(B).

Angenommen, es sei A≠B, dann gibt es

(x ∈ A und x ∉ B )   oder   (x ∈ B und x ∉ A )

1. Fall :    x ∈ A und x ∉ B 

dann ist {x} eine Teilmenge von A, also

wegen P(A)=P(B) auch  {x} ⊆ B

also  x ∈ B   Widerspruch!

entsprechend der 2. Fall.