Beweise zu Abbildungen und Translation um einen Vektor .

Question

folgende Aufgabe bringt mich momentan ein bisschen zur Verzweiflung:

"Abbildungen der Form Tv : R^2 →R^2; X → X+v mit v ∈ R^2 heißen bekanntlich Translationen oder Verschiebungen (um den Vektor v).

Beweisen Sie...

(a) Tv ist bijektiv mit Umkehrabbildung T−v.

(b) Für jede Gerade g ist Tv(g) eine Gerade, die parallel zu g liegt.

(c) Für alle A,B ∈ R^2 gilt |AB| = |Tv(A) Tv(B)|.

(d) Im Fall v ungleich (0,0) hat Tv keine Fixpunkte.

(e) Im Fall v ungleich (0,0) besitzt Tv genau eine Parallelklasse von Fixgeraden. Beschreiben Sie diese Parallelklasse in geeigneter Weise.

(f) T := {Tv ; v ∈ R^2} bildet mit der Verkettung von Abbildungen eine kommutative Gruppe, die zu (R2,+) isomorph ist."

Ich bin dankbar für jede nur erdenkliche Hilfe!

LG Sigi

Comments

Hast du zu keinem Teil wenigstens mal nen Ansatz ?

Damit könnte man weiter helfen.

zu a) fang für "Injektiv" mal so an:

Sei Tv eine solche Abbildung und seien X und Y aus IR² mit

Tv (X) = Tv(Y)

dann gilt ........

Daraus musst du herleiten

           X = Y .

oder für surjektiv:

Sei Tv eine solche Abbildung und sei  Y aus IR² .

Versuche ein X zu finden mit Tv(X) =Y .  etc.

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Das ist doch die ganz normale Parallelverschiebung, die du im Geometrieunterricht der (Primar)Schule (?) schon konstruiert hast. Warumt hat die denn keine Fixpunkte, wenn der Verschiebungsvektor nicht v = (0|0) ist ? 

(e) Im Fall v ungleich (0,0) besitzt Tv genau eine Parallelklasse von Fixgeraden. Beschreiben Sie diese Parallelklasse in geeigneter Weise.

Es handelt sich um die Klasse der Geraden, die parallel zum Verschiebungsvektor v verlaufen.