Ich soll mehrere Beweise zu einer Geradenspiegelung g' machen. g und h sind parallele Geraden und g' ist die Geradenspiegelung an g.
A. g ist die Mittelparallele zu h und g'(h). Genauer: g II g'(h) und für jedes Lot l auf g ist l ∩g der Mittelpunkt von l ∩h und l ∩g'(h).
Folgt g' II g(h) nicht automatisch aus.: g II h und g II g' -> g' II g'(h)? Oder gilt gar nicht g II g'? Und g' (h) entsteht ja durch den Lotfußpunkt Fl der sich aus der Orthogonalen l mit g schneidet, dann trägt man den selben Abstand ab und erhält g'(h). Und da der Abstand von Fl von h dem Abstand von Fl von g'(h) entspricht ist g in der Mitte.
b. Gibt es einen Punkt X mit g'(X) = h'(X) so folgt g=h.
Um g'(X) zu erhalten Fällt man das Lot a auf g und trägt im gleichen Abstand vom Lotfußpunkt zu X auf der anderen Seite den Abstand ab. Also KFa(X) also der Kreis mit Mittelpunkt Lotfußpunkt Fa der durch X geht. Um h'(X) zu erhalten mache ich das selbe. also KFb(X) mit Lot b. Weil g'(X)=h'(X) →KFa(X)=KFb(X)→Fa=Fb ∧ a=b → g=h
C. im Fall g≠h ist g' ° h' (Verkettung) fixpunktfrei
Die Fixpunkte von g' liegen ja in der Menge g, es sind alle Punkte auf der Gerade g. Die Fixpunkte von h' liegen in der Menge h, also auf der Gerade h. Da gilt g≠h sind die Geraden nicht identisch sondern gleich. Daraus folgt dass g und h keine Schnittpunkte haben und darum auch keine gemeinsamen Fixpunkte?
D. g' ° h' ist eine Dilatation d.h. g' ° h' bildet jede Gerade auf eine zu sich parallele Gerade ab.
h' ist eine Dilatation da sie eine Gerade t auf die Gerade h'(t) abbildet die parallel zu t ist. g' ° h'(t) ist auch eine Dilatation da die Gerade h'(t) durch g' auf g'(h'(t)) abgebildet wird, dieses ist auch eine Gerade die parallel zu h'(t) ist. Also ist auch die Verkettung der Geradenspeigelungen eine Dilatation.
Kann man die Beweise in etwa so führen oder muss es ausführlicher gemacht werden?
Danke für alle Antworten! :)
