Grenzwert für Summe(k=1 bis unendlich) 2/((Wurzel2)^{k-1})

Question

Wie berechnet man den Grenzwert für Summe(k=1 bis unendlich) 2/((√2)^{k-1}) ?

Answer 1

Hallo Elamda,

  \(\sum\limits_{k=1}^{∞} 2/ ({(√2)}^{k-1})\) =  2 * \(\sum\limits_{k=0}^{∞} (1/√2)^k\)   (geometrische Reihe)

                          =  2 * 1 / (1-1/√2)   

                          =  2 / [ (√2-1) / √2 ]

                          =  2 * √2 / (√2-1) 

                          =_Erweitern  2 * √2 * (√2+1) / [ (√2-1) * (√2+1) ]  

                          =  4 + 2 * √2  / ( 2 - 1)      (3. binomische Formel im Nenner)

                           =  4 + 2 * √2 

Gruß Wolfgang