Funktionsgleichung einer Parabel aufstellen mit Bedingungen: f(2)=0 ; f(0)=-4

Question

Es geht um eine Parabel die folgende Bedingungen haben soll: f(2)=0 ; f(0)=-4 

die funktionsgleichung für eine Parabel Sollte demnach so aussehen : ax²+bx+c      ...Stimmt das?

Weiterhin habe ich dann versucht die funktionsgleichung mit der Matrix aufzustellen. Ich habe es aber nicht hinbekommen.

Danke :)

Comments

Die beiden Bedingungen reichen nicht, um eine allgemeine Parabel mit f(x) = ax^2 + bx + c zu bestimmen.

Vielleicht meinst du eine (ggf. verschobene) Normalparabel  mit f(x) = x^2 + ax + b  ??

---

Ja ich kann dir gern nochmal die ganze Aufgabenstellung sagen:

Gegeben ist f₂=-0,5x³+4x-4, dessen nullstelle x=2 ist. 

Nun zur Aufgabe; Eine Parabel p, die ihren Scheitelpunkt bei S(0|-4) und die nullstelle bei x=2 hat, schneidet den Graphen der Funktion f₂ in einem Punkt im 2. Quadranten. Ermitteln Sie die funktionsgleichung für p und berechnen sie diesen Schnittpunkt. 

Answer 1

Nun zur Aufgabe; Eine Parabel p, die ihren Scheitelpunkt bei S(0|-4) und die Nullstelle bei x=2 hat, schneidet den Graphen der Funktion f₂ in einem Punkt im 2. Quadranten.

Allgemeiner Ansatz

f(x) = a*x^2 - 4

f(2) = 0

f(2) = a*2^2 - 4 = 0 --> a = 1

f(x) = x^2 - 4

Skizze:

~plot~ -0.5x^3+4x-4;x^2-4;[[-5|5|-10|13]] ~plot~

Comments

Warum ist a=1

---

Du verstehst diese Zeile nicht:

" f(2) = a*2² - 4 = 0 --> a = 1 " ? 

a*2² - 4 = 0     | auflösen nach a

a*4 - 4 = 0

a*4 = 4   

 a = 1 

Answer 2

Nun zur Aufgabe; Eine Parabel p, die ihren
Scheitelpunkt bei S(0|-4) und die
nullstelle bei x=2 hat,

Du hast eine Information nicht erkannt.
S ( 0 |  -4 ) ist ein Scheitelpunkt.

Dieser liegt für x = 0 auf der y-Achse.

Die Parabelgleichung

f ( x ) = a * x^2 + b * x + c

reduziert sich damit auf ( Symmetrie zur y-Achse )

f ( x ) = a * x^2 + c

f ( 0 = a * 0^2 + c = -4  => c = -4

f ( 2 ) = 0
f ( 2 ) = a * 2^2 - 4 = 0  => a = 1

f ( x ) = x^2 - 4

Bei Bedarf weiter fragen.

Comments

Ok Danke verstanden!

Jetzt nochmal eine Allgemeine frage. Wenn da dann zum Beispiel in der Aufgabenstellung stehen würde das der Scheitelpunkt bei (-4|0) liegen würde! Wie müsste ich dann im Bezug auf die Symmetrie handeln bzw. was müsste ich beachten?

---

Wenn es nicht die Symmetrie zur Y-Achse ist, kannst du den Trick mit dem weglassen der ungeraden Potenz (x^1) nicht machen. Dann würde ich versuchen die scheitelpunktsform zu verwenden und dort den Scheitelpunkt einzusetzen.

---

Mit der Scheitelform  y = a * (x -x_s)² + y_s  ist es sowieso einfacher, weil man - bei gegebenem Scheitelpunkt - nur eine Unbekannte hat:

mit  S(0|-4)   →  y = a * x² - 4 

P(2|0) einsetzen  →  0 = 4a - 4 →  a = 1

f(x)  =  x² - 4  

---

Für den Nachweis das b entfällt nutze ich
die Differentialrechnung

f ( x ) = a * x² + b * x + c
f ´( x ) = 2 * a * x + b
f ´( 0 ) = 2 * a * 0 + b = 0  => b = 0

f ( x ) = a * x² + c

---

Danke euch, für die zahlreiche Hilfe! Habe alles verstanden.

Könntet ihr mir aber noch beim zweiten Aufgabenteil helfen, wo man den Schnittpunkt berechnen muss?

Gegeben ist f₂=-0,5x³+4x-4, dessen nullstelle x=2 ist.  

Nun zur Aufgabe; Eine Parabel p, die ihren Scheitelpunkt bei S(0|-4) und die nullstelle bei x=2 hat, schneidet den Graphen der Funktion f₂ in einem Punkt im 2. Quadranten. Ermitteln Sie die funktionsgleichung für p und ---->berechnen sie diesen Schnittpunkt. 

---

f₂=-0,5x³+4x-4
p = x^2 - 4

Schnittpunkte

f ( x ) = p ( x )

-0,5 * x³ + 4 * x  - 4 = x^2 - 4  | + 4
-0,5 * x³ + 4 * x  = x^2   | - x^2
-0,5 * x³ - x^2 + 4 * x  = 0

x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt
anwenden :
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens
1 Faktor 0 ist.

x * ( -0,5 * x^2 - x + 4 )  = 0  => x = 0

Übrig bleibt
( -0,5 * x^2 - x + 4 )  =  0

Mitternachtsformel, pq-Formel oder
Quadratische Ergänzung liefert

x = -4
x = 2

Insgesamt
( -4 | 12 )
( 0 | -4 )
( 2 | 0)

Der erste Schnittpunkt ist im 2.Quadranten.

---

~plot~x^2-4;-0,5x^3+4x-4;[[-5|5|-5|13]]~plot~