Question

Integrieren Sie mit der Substitutionsmethode die Funktion f(x) = (1+x)/(1-x)^2 

ich weiß leider nicht, wie ich hier anfangen soll.

Danke schon einmal für eure Hilfe.

Gruß Sven

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Was ist das Ziel?

Substitution kann man z.B. bei Gleichungen oder beim Integrieren brauchen.

Was an diesem Term findest du denn hier speziell unangenehm?

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Hallo Lu,

ich soll diese Aufgabe durch Integration mit der Substitutionsmethode lösen. :-)

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EDIT: Habe nun eine andere Überschrift und Einleitung gesetzt.

Answer 1

f(x) = (1+x)/(1-x)²  

Substitution: u = 1-x

du/dx = -1

du = - dx

Genügt das als Anfang?

Kontrolliere das Resultat erst am Schluss mit

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2Bx)%2F(1-x)%5E2

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vielen Dank für deine Mühe,

ich habe die Aufgabe in den Integralrechner eingegeben und er hat anfangs die Schritte angezeigt, die ich nicht nachvollziehen kann:

umschreiben:∫ x+1/(x-1)   --> kann man einfach aus dem 1-x ein x-1 machen?

dann dieser Schritt:

schreibe x+1 als x-1+2 und teile auf:

∫(1/x-1)+2/(x-1)^2 dx        --> wie kommt man auf die 2 auf einmal?

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Mach einfach die Substitution nach Schema.

f(x) = (1+x)/(1-x)²   

∫ (1+x)/(1-x)²   dx

                              |   1-x = u, 1-u = x, dx = -du 

= ∫ (1+(1-u))/(1-(1-u))²  (-du)

= ∫ (2-u)/(u)²  (-1)*du       | Bruch *(-1) . 

= ∫ (u-2)/(u)²    du     | Bruchsubtraktion

= ∫ (u)/u^2 -2/u^2    du 

= ∫ u^{-1} - 2u^{-2} du 

usw.

zum Schluss dann rücksubstituieren.

Answer 2

∫ (1+x)/(1-x)²   dx

   u=1-x  und  1+x = 2-u und du/dx = -1  also du = -dx

= ∫ (2-u)/u²   -du 

=  - ∫ 2/u² du  + ∫ u/u2 du

=  - ∫ 2/u² du  + ∫ 1/u du

= 2 / u    + ln ( |u| ) + c

= 2/(1-x)    +  ln ( |1-x| ) + c