Das ist doch eine Potenzreihe.
Da bestimmst du erst mal den Konvergenzradius. Das ist hier
relativ einfach über lim ( n gegen ∞ ) von | an / an+1 | zu machen
( siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius )
wegen an = 1 / ( n*2n+1 - 2n )
gibt | an / an+1 | = ((n+1)*2n+2 - 2n+1 ) / ( n*2n+1 - 2n )
mit 2n kürzen gibt
= (4(n+1) - 2 ) / ( 2n - 1 ) und das geht gegen 2.
also Konvergenzradius = 2 .
Damit konvergiert es für x ∈ ] -2 ; 2 [ .
Bleibt 2 und -2 zu prüfen.
Für x = 2 hast du
Σ 2n / ( n * 2n+1 - 2n )
= Σ 1 / ( 2n - 1 ) und wäre die konvergent, dann wäre es
= 1/2 * Σ 1 / ( n - 0,5 ) im Widerspruch zur Divergenz der harm. Reihe.
und für x= -2 ist es wohl konvergent nach Leibniz-Kriterium.
