Für welche x konvergiert die Potenzreihe: Summe (x^n / (n 2^{n+1} - 2^n))

Question

Hey:)

Für welche x konvergiert die Reihe?

Ich würde jetzt Wurzelkriterium anwenden.

Schließlich komm ich auf x/(2*√(2n-1)) und hätte jetzt gesagt, dass für alle x<=1 die Reihe konvergiert

Answer 1

Das ist doch eine Potenzreihe.

Da bestimmst du erst mal den Konvergenzradius. Das ist hier


relativ einfach über lim ( n gegen ∞ ) von   | a_n / a_n+1    |  zu machen


( siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius )

wegen an = 1 / ( n*2ⁿ⁺¹ - 2ⁿ )

gibt     | a_n / a_n+1    |  =  ((n+1)*2ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺¹ ) /  (  n*2ⁿ⁺¹ - 2ⁿ )

mit 2ⁿ kürzen gibt


= (4(n+1) - 2 )  /   ( 2n - 1 )  und das geht gegen 2.

also Konvergenzradius = 2 .


Damit konvergiert es für  x ∈ ] -2 ; 2 [ .


Bleibt 2 und -2 zu prüfen.


Für  x = 2 hast du



Σ 2ⁿ / ( n * 2ⁿ⁺¹ - 2ⁿ   )


= Σ   1  / ( 2n - 1 )    und wäre die konvergent, dann   wäre es

= 1/2 *  Σ   1  / ( n - 0,5 )   im Widerspruch zur Divergenz der harm. Reihe.

und für x= -2 ist es wohl konvergent nach Leibniz-Kriterium.

Comments

Woher kommt hier die -2?

 x ∈ ] -2 ; 2 [ ?

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Du weisst, was ein Konvergenzradius ist? Wenn nicht, bitte Wikipedia bemühen.