Lage zwischen ebene und gerade

Question

Welche Lage haben die Ebene E : 6x + 5y -13z -101=0 und die Gerade g:x(r)=(7;4;-3)+r(2;-5;-1) zueinander. 

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann

Answer 1

g: X = [7, 4, -3] + r·[2, -5, -1]

Setze die Gerade in die Ebene ein

E: 6·x + 5·y - 13·z - 101 = 0

6·(7 + 2·r) + 5·(4 - 5·r) - 13·(-3 - r) - 101 = 0

0 = 0

Die Gerade liegt in der Ebene.

Answer 2

Wir setzen die Gerade in die Koordinatenform der Ebene ein und versuchen das r zu bestimmen. 

Ist das Ergebnis:

• für alle r erfüllt, so liegt die Gerade in der Ebene, und alle Punkte der Geraden liegen auch in der Ebene
• für kein r erfüllt, so sind Gerade und Ebene echt parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt
• für genau ein r erfüllt, so schneiden sich Gerade und Ebene in genau einen Punkt. Dieser Schnittpunkt lässt sich berechnen, in dem man den Wert von r in die Geradengleichung einsetzt.