Monotonieverhalten von Funktionen bestimmen

Question

ich habe diese zwei Funktionen gegeben (g und h) und muss das Monotonieverhalten von beiden bestimmen und weiß leider überhaupt nicht weiter. Kann mir bitte jemand helfen.

Liebe Grüße

Answer 1

Bei g hast du 2x-3 bei der Quadratfunktion eingesetzt.

Die Quadratfunktion ist monoton steigend für x > 0

also g monoton steigend für   2x-3 > 0

                            2x > 3

                             x > 3/2

und fallend für x < 3/2 .

Bei h machst du  8x³ - 3

Die -3 ist eine Verschiebung des Graphen um 3 nach unten,

macht also nix für die Monotonie .

8x³ ist immerzu monoton steigend, also auch h

Comments

Vielen Dank für Ihre Hilfe!

Wollte Sie noch kurz fragen ob man 8x^3-3 auch rechnerisch beweisen kann, dass sie monoton steigt?

Liebe Grüße

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Geht entweder über die Ableitung ( 24x² ist immer ≥ 0 ) ,
oder elementar etwas aufwändiger:

(Ich nehme mal nur x³  ( dann ist es ja bei 8x³-3  auch klar.)

Ist zu zeigen:  Sei a<b dann a³ < b³ .

1. Fall: a und b haben verschiedene Vorzeichen, und sind

beide nicht 0 dann ist a < 0   < b

und dann auch a³ negativ und b³ positiv. OK.

2. Fall:  einer von beiden ist 0, auch kein Problem.

3. Fall  :  beide gleiche Vorzeichen:

a<b  ==>    b-a < 0 ==>  (b-a)³ < 0

==>   b³ - 3ba² + 3b²a - a³ < 0


==>   b³ - a³ <  3ba²  -  3b²a  = 3ba(a-b)  #

und da beide gleiche VZ haben ist 3ba > 0 und

wegen a<b ist  a-b < 0 , also das Produkt negativ

und damit wegen #    b³ - a³ <   3ba(a-b) < 0

also  b³ - a³ <  0.  q.e.d.