Geht entweder über die Ableitung ( 24x2 ist immer ≥ 0 ) ,
oder elementar etwas aufwändiger:
(Ich nehme mal nur x3 ( dann ist es ja bei 8x3-3 auch klar.)
Ist zu zeigen: Sei a<b dann a3 < b3 .
1. Fall: a und b haben verschiedene Vorzeichen, und sind
beide nicht 0 dann ist a < 0 < b
und dann auch a3 negativ und b3 positiv. OK.
2. Fall: einer von beiden ist 0, auch kein Problem.
3. Fall : beide gleiche Vorzeichen:
a<b ==> b-a < 0 ==> (b-a)3 < 0
==> b3 - 3ba2 + 3b2a - a3 < 0
==> b3 - a3 < 3ba2 - 3b2a = 3ba(a-b) #
und da beide gleiche VZ haben ist 3ba > 0 und
wegen a<b ist a-b < 0 , also das Produkt negativ
und damit wegen # b3 - a3 < 3ba(a-b) < 0
also b3 - a3 < 0. q.e.d.
