Also für |1-x|<2
-2<1-x<2
-3<-x<1
3>x>-1
-1<x<3
Habe mir mal ein paar Gedanken gemacht:
|x-y| > z
1. x-y >= 0 -> x>=y
2. -x+y > 0 -> x<y
1. x-y > z
x > z+y L1: x>=y und x >z+y
2. -x+y > z
-x > z-y
x < -z+y L2: x<y und x<-z+y
Wann würde ein "Widerspruch" entstehen?
-> Wann grenzt der erste Fall den zweiten ein?
-> L1: x=>y und x >z+y
-> Y müsste kleiner sein als z+y (*)
-> solange z nicht negativ ist, keine Einschränkung durch den ersten Fall
-> wenn z negativ ist, gibt es je nach Ausrichtung des gr./kl.-Zeichens "keine LSG" oder "immer erfüllt"
-> bei dieser Aufgabe wäre die Gleichung "immer erfüllt", wenn z negativ ist
-> L2: x<y und x<-z+y
-> Y müsste kleiner sein als -z+y (*)
-> solange z nicht negativ ist, keine Einschränkung
-> wenn z negativ ist, gibt es je nach Ausrichtung des gr./kl.-Zeichens "keine LSG" oder "immer erfüllt"
-> hier wäre es "immer erfüllt"
für |x-y|<z:
-> L1: x>=y und x > -z+y
-> L2: x<y und x < z+y
-> s.o. -> triviale LSG bei z kleiner 0 -> hier "keine LSG"
zum (*)
Y müsste kleiner als z+y sein
-> sollte Y negativ sein, verändern sich die Gleichungen zu |x+y|>z und |x+y|<z
-> L1: x > -y und x > -y+z -> solange z nicht negativ -> triviale LSG -> "keine LSG"
-> L2: -x-y > 0 <=> x<-y und -x-y>z <=> x<-y-z -> solange z nicht negativ -> triviale LSG -> "immer erfüllt"
=> Sollte also die erste Fallunterscheidung die zweite einschränken kommen immer die trivialen Lösungen "keine LSG" und "immer erfüllt"
=> Diese Lösungen fallen immer direkt auf:
|x+y| > -2 |x-y| > -2 (immer erfüllt)
|x+y| < -2 |x-y| < -2 (keine LSG)
Also lasse ich einfach die erste Fallunterscheidung weg, wenn das so richtig ist was ich mir da überlegt habe ;) Kann man das vielleicht auch mathematisch noch schöner beschreiben?
Was mich auch noch interessiert sind Betragsungleichungen wie: |x+y|+|x+z| > w und |x+y|*|x+z|>w
Vielleicht sind auch hier noch Möglichkeiten einige Fallunterscheidungen weg zu lassen?