Betragsungleichungen Lösungsverfahren |x-1|<2

Question

Ich habe zwei Möglichkeiten gefunden mit Betragsungleichungen umzugehen.

Bei der ersten mache ich für jeden Betrag eine >0, <0 Fallunterscheidung und löse den Betrag danach einmal normal auf und einmal mit minus. Dann muss ich beide Lösungsmengen vereinen

Bsp. erste Möglichkeit:

|x-1|<2

x-1 >= 0 für x>=1
x-1 < 0 für x<1

x-1<2
x < 3 und (s.o.) x>=1 -> L1(1;3)

-(x-1)<2
x-1>-2
x>-1 und (s.o.) x <1 -> L2(-1;1)

L1 und L2 -> L(-1;3)

Bsp. zweite Möglichkeit:

|x-1|<2

-2<x-1<2
-1<x<3

Jetzt frage ich mich natürlich ob ich immer die zweite Möglichkeit nehmen kann ;) Ich mache hier ja irgendwie zwei Fallunterscheidungen weniger(?) Löse das ja nur so auf:
x-1<2
-(x-1)<2 -> x-1>-2
-2<x-1<2

Allerdings finde ich keine Aufgabe bei der das so nicht hinhaut.
Auch doppelte Betragsgleichungen kann ich irgendwie damit viel schneller lösen.
Übersehe ich da was?

Answer 1

Du kannst die Fallunterscheidungen umgehen, wenn du quadrierst.

|x-1|<2      

(x-1)^2 < 4  

(x-1)^2 - 2^2 < 0     | 3. binomische Formel

(x-1 -2)(x-1+2) < 0      

(x-3)(x+1) < 0      

Ein Produkt ist negativ, wenn ein Faktor kleiner als Null und der andere grösser als 0 ist. 

Da der erste Faktor für alle x kleiner ist als der zweite, kommt nur dieser Fall in Frage, d.h.

x < 3 und x> -1 

L= {x Element R | -1 < x < 3 } 

Ohne Gewähr. Bitte nachrechnen! 

Rechnung im Bild 

~plot~ abs(x-1);2;(x-1)^2;4;x=-1;x=4;[[-4|6|-1|5]] ~plot~ 

Comments

üblicher und logischer als deine Fallunterscheidung:

|x-1|<2   . Betrachte das Vorzeichen des Inhalts des Betrags

1. Fall x≥ 1: Betragsstriche weglassen

|x-1|<2 

x-1 <2 

x < 3 

L1= {x ∈ R  | 1≤x<3} 

2. Fall x< 1: Betragsstriche weglassen und Minus vor der Klammer

|x-1|<2 

-(x-1) <2 

-x + 1 < 2       | + x - 2

-1 < x

L2 = { x ∈ R  | -1< x< 1}

Insgesamt:

L = { x ∈ R | -1 < x < 3} 

Deine 2. Antwort ist elegant. Du weisst -2 < 2 . 

Allerdings musst du erst mal kontrollieren, was passiert, wenn du z.B. die Ungleichung |1-x|<2 hast. 

Bsp. zweite Möglichkeit

|x-1|<2

-2<  x-1 <2 
-1<x<3 

Allerdings musst du erst mal kontrollieren, was passiert, wenn du z.B. die Ungleichung |1-x|<2 hast. Kann sein, dass das auch geht. 

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Also für |1-x|<2

-2<1-x<2
-3<-x<1
3>x>-1
-1<x<3

Habe mir mal ein paar Gedanken gemacht:

|x-y| > z

1. x-y >= 0 -> x>=y
2. -x+y > 0 -> x<y

1. x-y > z
    x > z+y         L1: x>=y und x >z+y

2. -x+y > z
    -x > z-y
     x < -z+y       L2: x<y und x<-z+y

Wann würde ein "Widerspruch" entstehen?
-> Wann grenzt der erste Fall den zweiten ein?
  -> L1: x=>y und x >z+y
 
-> Y müsste kleiner sein als z+y (*)
    -> solange z nicht negativ ist, keine Einschränkung durch den ersten Fall

  -> wenn z negativ ist, gibt es je nach Ausrichtung des gr./kl.-Zeichens "keine LSG" oder "immer erfüllt"
     -> bei dieser Aufgabe wäre die Gleichung "immer erfüllt", wenn z negativ ist

  -> L2: x<y und x<-z+y

  -> Y müsste kleiner sein als -z+y (*)
     -> solange z nicht negativ ist, keine Einschränkung

  -> wenn z negativ ist, gibt es je nach Ausrichtung des gr./kl.-Zeichens "keine LSG" oder "immer erfüllt"
     -> hier wäre es "immer erfüllt"
   
für |x-y|<z:

-> L1: x>=y und x > -z+y
-> L2: x<y und x < z+y
  -> s.o. -> triviale LSG bei z kleiner 0 -> hier "keine LSG"

zum (*)
Y müsste kleiner als z+y sein
  -> sollte Y negativ sein, verändern sich die Gleichungen zu |x+y|>z und |x+y|<z

  -> L1: x > -y und x > -y+z -> solange z nicht negativ -> triviale LSG -> "keine LSG"

  -> L2: -x-y > 0 <=> x<-y und -x-y>z <=> x<-y-z -> solange z nicht negativ -> triviale LSG -> "immer erfüllt"

=> Sollte also die erste Fallunterscheidung die zweite einschränken kommen immer die trivialen Lösungen "keine LSG" und "immer erfüllt"

=> Diese Lösungen fallen immer direkt auf:
|x+y| > -2   |x-y| > -2   (immer erfüllt) 
|x+y| < -2   |x-y| < -2   (keine LSG)

Also lasse ich einfach die erste Fallunterscheidung weg, wenn das so richtig ist was ich mir da überlegt habe ;) Kann man das vielleicht auch mathematisch noch schöner beschreiben?

Was mich auch noch interessiert sind Betragsungleichungen wie: |x+y|+|x+z| > w und |x+y|*|x+z|>w

Vielleicht sind auch hier noch Möglichkeiten einige Fallunterscheidungen weg zu lassen?

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Ja. Es ist sicher vernünftig, wenn du möglichst viele Fallunterscheidungen weglassen kannst. Ich stelle mir die konkreten Betragsungleichungen lieber graphisch vor. Da ergeben sich mit den Zahlen natürlicherweise schon nicht allzu viele Fälle, weil die x-Achse eine Richtung hat und man sich für die Fälle an dieser orientieren können. 

Deine theoretische Aufstellung hat nun doch einen gewissen Umfang erreicht. Wenn du dir all dies merken kannst, scheint mir, dass du mit deiner Methode keine Fälle vergisst.