Differentialgleichung 1. Ordnung, Probe klappt nicht. 2^x = y' - y

Question

Es geht momentan um Teil Aufgabe 2a) was genau habe ich falsch gemacht, sodass ich nicht bei der Probe auf das Ergebnis komme.. und könnt ihr mir dann zeigen.. wie ich diese Werte im Beispiel in eine allgemeine Lösungsformel einsetze und berechne?

Answer 1

Aufgabe 2a)

habs mit der Lösungsformel berechnet:

Probe:

Comments

ich danke dir! Könntest du mir auch zeigen wie du das für b) löst?

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Hut ab! Jetzt checke ich die Probe !:))

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Aufgabe b)

 

Answer 2

kleinschrittige Variante:

$$ 2^x = y'-y $$
$$y_H = y' $$
$$ y_H = \frac{dy}{dx} $$
$$ 1 = \frac{1}{y_H}\frac{dy}{dx} $$
$$ \int\, 1\, dx = \int\, \frac{1}{y_H}\frac{dy}{dx}\, dx $$
$$x+C = \int\, \frac{1}{y_H}\, dy $$
$$x+C = \, \ln(y_H) $$
$$e^{(x+C)} = \, e^{\ln(y_H)} $$
$$e^{(x)}\cdot e^{(C)} = \,y_H $$
$$\,y_H =e^{(x)}\cdot D  $$
---VdK
$$\,y =e^{(x)}\cdot D(x)  $$
$$\,y' =e^{(x)}\cdot D(x)+ e^{(x)}\cdot D'(x) $$
$$ 2^x = y'-y $$
$$ 2^x = e^{(x)}\cdot D(x)+ e^{(x)}\cdot D'(x)-e^{(x)}\cdot D(x) $$
$$ 2^x = e^{(x)}\cdot D'(x) $$
$$ 2^x \cdot  e^{(-x)}= D'(x) $$
$$ e^{(\ln(2) \, x)} \cdot  e^{(-x)}= D'(x) $$
$$ e^{((\ln(2)-1) \, x)} = D'(x) $$
$$ \int \, e^{((\ln(2)-1) \, x)}\, dx = D(x) $$
$$ \frac1{\ln(2)-1} \,\cdot  e^{((\ln(2)-1) \, x)}\,  = D(x) $$
$$\,y_P =e^{(x)}\cdot \frac1{\ln(2)-1} \,\cdot  e^{((\ln(2)-1) \, x)}\,  $$
$$\,y_P = \frac1{\ln(2)-1} \,\cdot  e^{x \cdot \ln(2) }\,  $$
---
$$\,y(x)  =y_H+y_P  $$
$$\,y(x)  =e^{(x)}\cdot D +\frac1{\ln(2)-1} \,\cdot  e^{x \cdot \ln(2) }\,   $$

Comments

so ähnlich habe ich das auch.. außer das du am Ende anders umformst. Der Punkt ist dass ich bei der Probe dann aber nicht mehr auf 2^x komme. Kommst du etwa auf 2^x ?

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Dein "2 hoch  x"    auf der viertletzten Zeile auf dem ersten Blatt ist  zu einem "2 mal x" degeneriert.

Damit hast Du dann weitergemacht bis es nicht mehr passt nehme ich an.

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och nein :D:D:D Stimmt du hast völlig recht, danke das du den Fehler gefunden hast :)

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$$\,y(x)  =y_H+y_P  $$
$$\,y(x)  =e^{(x)}\cdot D +\frac1{\ln(2)-1} \,\cdot  e^{x \cdot \ln(2) }\,   $$
---
Probe:
$$ 2^x = y'-y $$
$$ y'(x)=e^{(x)}\cdot D +\frac{\ln(2)}{\ln(2)-1} \,\cdot  e^{x \cdot \ln(2) } $$
$$ 2^x = \left(e^{(x)}\cdot D +\frac{\ln(2)}{\ln(2)-1} \,\cdot  e^{x \cdot \ln(2) }\right)-\left(e^{(x)}\cdot D +\frac1{\ln(2)-1} \,\cdot  e^{x \cdot \ln(2) }\right)  $$
$$ 2^x = \frac{\ln(2)}{\ln(2)-1} \,\cdot  e^{x \cdot \ln(2) }-\frac1{\ln(2)-1} \,\cdot  e^{x \cdot \ln(2) } $$
$$ 2^x = \left(\frac{\ln(2)}{\ln(2)-1} \,-\frac1{\ln(2)-1}\right) \,\cdot  e^{x \cdot \ln(2) } $$
$$ 2^x = \left(\frac{\ln(2)-1}{\ln(2)-1} \,\right) \,\cdot  e^{x \cdot \ln(2) } $$
$$ 2^x =   e^{x \cdot \ln(2) } $$
---q.e.d.$$$$Nachschlag:
$$ \ln(2^x) =  \ln( e^{x \cdot \ln(2) } )$$
$$x \cdot  \ln(2) = x \cdot \ln(2) $$

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Das man diese ganzen "Tricks" alle draufhaben muss , hätte ich nicht gedacht.

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hab ich das hier schon richtig gemacht ? Weil mich die 0,5 irritiert

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$$ y+ \frac 12 y' = e^{-2x} $$
$$ y_H+ \frac 12 \frac {dy_H}{dx} =0 $$
$$ y_H=- \frac 12 \frac {dy_H}{dx}  $$
$$ 1=- \frac 1{2y_H} \frac {dy_H}{dx}  $$

Hier Leben leichter machen:

$$ -2= \frac 1{y_H} \frac {dy_H}{dx}  $$
$$ -\int \, 2 \, dx= \int \, \frac 1{y_H} \,dy_H  $$
$$ - \, 2 \, x+C= \ln \, (y_H)  $$
$$D \cdot  e^{(- \, 2 \, x)}=  \, y_H  $$
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$$y' = D' \cdot  e^{(- \, 2 \, x)}-2  D \cdot  e^{(- \, 2 \, x)}  $$
$$ y+ \frac 12 y' = e^{-2x} $$
$$ D \cdot  e^{(- \, 2 \, x)}+ \frac 12 ( D' \cdot  e^{(- \, 2 \, x)}-2  D \cdot  e^{(- \, 2 \, x)}) = e^{-2x} $$
$$  \frac 12 \, D' \cdot  e^{(- \, 2 \, x)} = e^{-2x} $$
$$  \frac 12 \, D'  = \frac{e^{-2x}}{ e^{(- \, 2 \, x)}} $$
$$  \frac 12 \, D'  = 1 $$
$$   D'  = 2 $$
$$   \int \, D' dx = \int 2 dx$$
$$    D =  2 x$$

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habe bei der Probe für  y + 1/2y = e^-2x , für y  = 2x und für y' = 2 eingesetzt.
Und es kam 2x +1 = e^-2x dabei raus.. aber es scheint nicht richtig auszusehen, welche werte müsste also stattdessen einsetzen?

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Vorher natürlich erstmal die Lösung der DGL komplettieren!

D(x) ist NICHT y(x)