Dimension von UVR des Abb(Z,R)

Question

Ich soll zeigen, dass U={f Element Abb(Z,R)|f(x)=f(x+3), für alle x Element Z} ein Unterraum ist und dessen Dimension bestimmen.

Den Unterraum müsste ich glaube ich schon bewiesen haben.

Es geht mir hauptsächlich um die Dimension, da ich mir nicht vorstellen kann, wie das im Abb(Z,R) auszusehen hat.

Answer 1

Seien u, v, w ∈ U derart, dass

• u(0) = 1, u(1) = u(2) = 0,
• v(1) = 1, v(0) = v(2) = 0,
• w(2) = 1, w(0) = w(1) = 0,

Mann kann alle Abbildungen aus U als Linearombination von u, v, w schreiben.

Comments

Aber wieso ist U(0)=1? Und U(1)=U(2)=0

Ich dachte U(0) wäre dann U(0+3), also U(3)?

Und wie kann ich davon jetzt die Dimension ablesen?

Sorry wenn ich nerve, ich will es gerne verstehen.

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> Aber wieso ist U(0)=1? Und U(1)=U(2)=0

Achte bitte auf korrekte Groß- und Kleinschreibung. Bei deutschen Wörtern ist mir das ziemlich egal, aber bei mathematischen Symbolen sollte man kleinlich sein. U und u sind verschiedene Objekte. Ich vermute du meinst u(0) = 1, etc.

> Seien u, v, w ∈ U ...

Mit diesem Teil habe ich drei Objekten aus U neue Namen gegeben.

> ... derart, dass ...

Die Objekte, sollen aber nicht willkürlich sein, sondern bestimmte Bedingungen erfüllen. Ich habe die Namen vergeben, deshalb darf ich bestimmen, welche Bedingungen sie erfüllen müssen.

> Ich dachte U(0) wäre dann U(0+3), also U(3)?

Konsequenz daraus ist, dass auch u(3) = 1 ist. Ebenfalls ist u(6) = u(9) = u(12) = ... = 1.

> Und wie kann ich davon jetzt die Dimension ablesen?

Zeige, dass meine Bahauptung stimmt, alle Abbildungen aus U könne man als Linearombination von u, v, w schreiben.

Zeige dass u,v,w linear unabhängig sind.

Hast du beides gezeigt, dann ist die Dimension 3.

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Okay, sorry Autokorrektur. Okay das habe ich soweit verstanden.

Jetzt habe ich u, v und w in eine Matrix eingetragen also die Einheitsmatrix für 3×3. das habe ich gleich 0 gesetzt und es folgt das a1=a2=a3=0, also linear unabhängig.

Wie zeige ich dass ich dies als Linearkombination schreiben kann?

So: a1×u+a2×v+a3×w=f, für alle f Element U ?

Aus den drei unabhängigen Vektoren kann ich schließlich auf Dimension 3 schließen, wie du gesagt hast.

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> a1×u+a2×v+a3×w=f

Lösung dieser Gleichung ist a1 = f(0), a2 = f(1), a3 = f(2)

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Also wäre dies keine Linearkombination, da die a's sonst abhängig wären?

Oder verstehe ich das jetzt komplett falsch?

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f ist eine Abbildung von ℤ nach ℝ. f(0) ist der Funktionswert von f an der Stelle 0. Also ist f(0) eine reelle Zahl. Also ist auch a1 eine reelle Zahl. Aus gleichem Grund sind a2 und a3 reelle Zahlen.

Was meinst du mit "da die a's sonst abhängig wären"?

Ich meine, für jedes f ∈ U ist f = f(0)·u + f(1)·v + f(2)·w.

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Achso, sorry stand aufm Schlauch, also ist f=f(0)u+f(1)v+f(2)w mein Erzeugendensystem und ich weiß, dass u, v, w linear unabhängig sind und deshalb diese meine Basis sind

Daraus folger ich dann dim (U)=3.

Richtig so? Danke für deine Geduld :)

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> also ist f=f(0)u+f(1)v+f(2)w mein Erzeugendensystem

Nein, das ist eine Darstellung von f als Linearkombination von u, v und w.

Das Erzeugendensystem ist {u, v, w}.

> Daraus folger ich dann dim (U)=3.

Richtig.