Zusammenhang zwischen Grundfunktion und Integralfunktion

Question

die Stammfunktion F zu einer Grundfunktion f ist deren "Aufleitung".

Die Menge aller Stammfunktionen einer Grundfunktionen ist die Integralfunktion.

Inwiefern hängt nun also die Grundfunktion mit der Integralfunktion zusammen?

(Mit (*) ist die Voraussetzung gemeint dass I ein abgeschlossenes Intervall ist und f auf I differenzierbar ist.)

Ich verstehe den Bezug zu den Variablen nicht. Während eine Stelle auf der x-Achse bzw. der Integrationsgrenze in der Integralfunktion festgelegt ist, ist die zweite Grenze variabel. Diese Integralfunktion gibt die Flächenbilabz der Grundfunktion innerhalb der Integrationsgrenzen an.

Wie kann ich dann ich dann den Satz verstehen dass für jede Stelle a (bzw. x auf der x-Achse) die Integralfunktion die Stammfunktion zu f ist? Mit der Integralfunktion berechnet man doch die Flächenbilabz, in wie fern hängt sie also mit der Grundfunktion zusammen?

Answer 1

Die Integralfunktion ist nicht die Menge aller Stammfunktionen.

Die Menge aller Stammfunktionen ist das unbestimmte Integral.

Die Integralfunktion ist eine Stammfunktion zu einer bestimmten Stelle.

I₀(x) ist eine Integralfunktion und zwar diejenige Stammfunktion die an der Stelle 0 den Wert 0 hat.

Der Zusammenhang ist einfach

I_n(x) ist eine Integralfunktion zur Grundfunktion f(x) wenn I_n(x) abgeleitet f(x) ergibt und wenn gilt In(n) = 0.

Comments

Also ist dieser Aufschrieb falsch?

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Dort hast du doch das unbestimmte Integral definiert. Das ist die Menge aller Stammfunktionen.

Ich weiß nicht wozu Ihr dort nach auf I geschrieben habt. Das hatten wir nicht mehr dazu geschrieben.

und das vor dem C ist bei dir ein "+" oder?

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Das ist ein plus, ist schwach gedruckt.

Ja weil du "bestimmtes" integral geschrieben hattest und nicht "unbestimmtes" hat mich das jetzt verwirrt. War ein Schreibfehler oder?

1. Also die Menge von allen Stammfunktionen zur Grundfunktion ist das unbestimmte Integral. (Wegen der Integrationskonstante)

2. Gibt man eine Grenze vom unbestimmten Integral einer Grundfunktion an und nimmt für die andere Grenze eine Variable -> erst so entsteht eine Integralfunktion, welche die Flächenbilanz zwischendurch der festgelegten Stelle (hier a) und der variablen Stelle angibt. (Auf einem Grenzintervall der Grundfunktion).

3. Für jede Stelle (hier a) auf der Grundfunktion und im festgelegten Intervall ist die Integralfunktion eine Stammfunktion.

Also sagt der Satz:

lediglich aus dass eine (Grund-)Funktion die eine Aufleitung (Stammfunktion) hat, für jede Stelle zwischen den ausgewählten Integrationsgrenzen diese Stammfunktion hat?

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"Ja weil du "bestimmtes" integral geschrieben hattest und nicht "unbestimmtes" hat mich das jetzt verwirrt. War ein Schreibfehler oder?"

Oh sorry. Ja das war ein Notierungsfehler. Ich habe es oben geändert.

Du sagst bitte nicht Aufleitung. Das kann man in der Schule mal sagen. Im Studium wird dir dafür der Kopf abgerissen :) Ab sofort heißt es also integrieren.

Und der Zusammenhang ist eher über die Ableitung definiert.

Man sagt also nicht "F(x) ist eine Stammfunktion zu f(x), wenn F(x) die Aufleitung von f(x) ist" sondern du sagst "F(x) ist eine Stammfunktion zu f(x), wenn die Ableitung von F(x) gleich f(x) ist".

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Ja, wollte es nur nochmal so einfach wie möglich niederschreiben.

Ich frage mich grade wozu zur Hölle

"...dass eine Grundfunktion die eine Stammfunktion hat, für jede Stelle zwischen den ausgewählten Integrationsgrenzen diese Stammfunktion hat..."

nötig zu notieren ist. Das hat mich jetzt ewig Zeit gekostet weil ich eine tiefere Bedeutung dahinter gesucht habe. Wie sollte es denn anders sein?

Wahrscheinlich wurde es nur notiert damit zu 100% klar ist dass (was als nächstes auf dem Aufschrieb steht) dass die Ableitung der Integralfunktion die Grundfunktion ist.