Konvergenz von Folgen - Beweis

Question

ich habe hier eine Aufgabe, wo ich nicht weiß wie ich es beweisen soll, wir haben auch leider kein Skript...

Ich sehe da keinen Zusammenhang:

Die Folge $$ b_n $$ konvergiert, es gibt eine Indexmenge I die in den natürliche Zahlen ist und es gibt ein n in dieser Indexmenge, aber ich weiß doch gar nichts über $$ a_n $$, wie soll ich dann zeigen, dass $$ a_n $$ konvergiert und gegen welchen Grenzwert?

Answer 1

Hallo BA,

wegen lim_n→∞  b_n  =  b  liegen in jeder beliebigen Umgebung U von b  fast alle ( = alle bis auf endlich viele)  Folgenglieder von (b_n)_n∈ℕ  

Da sich die Folge (a_n)_n∈ℕ  nur in endlich vielen Gliedern von (b_n)_n∈ℕ  unterscheidet, liegen deshalb auch fast alle Folgenglieder a_n  in  U  und deshalb gilt:   lim_n→∞  a_n  =  b 

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

danke erstmal für deine Antwort erstmal,

leider verstehe ich nicht wieso das so ist, die Folge an kann doch jede beliebige Folge sein, ich weiß doch absolut gar nichts über diese Folge... Ich weiß nur, dass sie eine Folge ist, aber nicht, kann ja sein, dass sie eine konstante Folge ist, dann liegen zum Beispiel garkeine Folgenglieder in jeder beliebigen Umgebung?

wie beweise ich dies außerdem formal?

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> ... dass sie eine konstante Folge ist, dann liegen zum Beispiel gar keine Folgenglieder in jeder beliebigen Umgebung? 

Eine (unendliche) konstante Folge mit a_n = k  hat den Grenzwert k. Dann liegen sogar alle Glieder dieser Folge in jeder Umgebung von k.  

Formaler Beweis:  So etwas ist überhaupt nicht definiert und deshalb nervt mich diese Formulierung jedesmal, wenn ich sie lese :-) 

Der Beweis in der Antwort ist ein voll gültiger Beweis und jede Formalisierung wäre eine künstliches Komplizieren der Mathematik. Eine Formalisierung ist wäre nur dann sinnvoll, wenn die verbale Formulierung einen Sachverhalt nicht klar zum Ausdruck bringt. 

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Tut mir leid, vielleicht stell ich mich etwas doof an, aber wie kann das sein?

Wenn ich eine konvergente Folge hab, z.B. eine Nullfolge, die konstante Folge a_n konvergiert in diesem Fall das ist klar, aber gilt obige Behauptung dann? Das versteh ich nicht...

Zum Beispiel, Nullfolge und konstante Folge mit Wert 3. Dann konvergiert die konstante Folge zwar, aber nicht gegen 0, wie die Nullfolge? Oder sehe ich das falsch?

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In der Voraussetzung steht aber, dass sich a_n und  b_n nur in n (also endlich vielen) Gliedern unterscheiden. Das ist doch bei deinen beiden (unendlichen)  konstanten Folge sicher nicht der Fall.

Hätte man das verbal und nicht formalisiert hingeschrieben, hättest du damit kein Verständnisproblem :-)