Anfangswertproblem y''= −(y')^2 (y+(1/y))

Question

 Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems

y''= −(y')^2 (y+(1/y)) ,

y(0) = 1, y'(0) = 1/ √ e

so weit kann ich anfangswertprobleme von DFG 1. ordnung lösen aber ich weiß nicht wie man 2. ordnung lösen kann wäre super wenn jemand vor lösen kann danke

Answer 1

die Antwort steht in diesem Link:

http://www.mathepedia.de/Spezielle_Loesungsmethoden.aspx

y' =z

y'' =z *dz/dy

Zum Schluß noch die AWB einsetzen.

--------->eingesetzt:

Comments

Deine Lösung ist nicht ganz richtig.

Grüße,

M.B.

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Und was ist falsch?

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Dein erster Fehler befindet sich in Fall a.

Dein zweiter sind falsche Vorzeichen im Fall b, und damit auch in Deiner Endlösung (mathematisch, nicht politisch, falls wieder einmal jemand blöde Bemerkungen machen will).

Grüße,

M.B.

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Ja und was ist  konkret falsch?

Answer 2

erst einmal kurz umformen:

$$ y'' = −(y')^2 \left( y+{1\over y} \right) $$

$$ y'' + \left( {y^2+1\over y} \right) (y')^2 = 0 \quad |~ : y' $$

$$ {y'' \over y'} + f(y)\cdot y' = 0 $$

mit

$$ f(y) = {y^2+1\over y} = y+{1\over y} $$

Nun scharf hinschauen:

$$ \int \left( {y'' \over y'} + f(y)\cdot y' \right) dy = C $$

$$ \ln |y'| + \int f(y) \,dy = C $$

Grüße,

M.B.