Richtig? Differentialgleichung y' = y^2/x^2 + 1 mit y(0) = 0.

Question

ich habe diese frage gelöst aber bin mir nicht sicher ob ich y(0) = 0 richtig eingesetzt habe kann jemand vielleicht korrigieren fals es flasch ist

bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung y' = y^2/x^2 + 1 mit y(0) = 0.

Hinweis: arctan 0 = 0 und arctan0 x = 1/(1 + x 2 ). 

meine lösung:

Answer 1

Wir haben folgendes: 
$$y'=y^2\cdot \frac{1}{x^2+1} \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=y^2\cdot \frac{1}{x^2+1} \\ \Rightarrow \frac{1}{y^2}dy= \frac{1}{x^2+1}dx \\ \Rightarrow \int \frac{1}{y^2}dy= \int \frac{1}{x^2+1}dx \\ \Rightarrow -\frac{1}{y}=\arctan(x) +c \\ \Rightarrow y=-\frac{1}{\arctan (x)+c}$$

Die Bedingung y(0)=0 ist aber nicht erfüllt.

Comments

das ist falsch; lerne rechnen.

Grüße,

M.B.

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Ich sehe gerade den Fehler nicht. Magst du etwas auf die Sprünge helfen?

Mein Freund Wolfram hat das auch heraus

Und das diese Funktion die Anfangsbedingung nicht erfüllt ist ebenfalls denke ich richtig.

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siehe unten.

Grüße,

M.B.

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Aber wo ist das ein Rechenfehler ?

Höchstens der Denkfehler "Du bekommst die spezielle Lösung hier aus der konstanten Lösung:"

Ein Fehler in der Rechnung sehe ich nicht.

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Naja bei den anderen Lösungen wird ja direkt im ersten Schritt durch y geteilt, was aber im Widerspruch zu y(0)=0 steht. Die Lösung gilt dann somit nicht mehr für x=0

Answer 2

ich komme auf:

dy/dx= y^2/(x^2+1)

dy/y^2 = dx/(x^2+1)

usw.

Answer 3

die  Lösung lautet y(x)=0 ;)

Answer 4

falls Du Interesse an einer richtigen Lösung hast:

Allgemeine Lösung:

$$ y = {1 \over C_0-\arctan x} $$

$$ C_0 = {1 \over y_0}+\arctan x_0 $$

Konstante Lösung:

$$ y_{\rm k} = 0 $$

Spezielle Lösung:

Die Anfangsbedingungen ergeben

$$  C_0 = {1 \over 0}+\arctan 0 $$

und damit einen Widerspruch. Du bekommst die spezielle Lösung hier aus der konstanten Lösung:

$$ y_{\rm s} = 0 $$

Grüße,

M.B.