Die allgemeine Lösung ist dir schon vorgegeben.
Wenn du willst kannst du x(t) noch zwei mal nach t ableiten und dann zu w*x addieren. So hast du eine erste Kontrolle des angegeben Resultats. Das ist jedoch gar nicht verlangt.
Du sollst nur in der allgemeinen Lösung x(t) =.... die Konstanten c1 und c2 noch bestimmen.
Beispiel a)
x(t) = c1 cos(wt) + c2 sin(wt) , x(0) = 1, x'(0) = 2w
x'(t) = -c1* w* sin(wt) + c2* w* cos(wt)
Einsetzen:
x(0) = c1 cos(0) + c2 sin(0) = 1
x'(0) = -c1* w* sin(0) + c2* w* cos(0) = 2w
Vereinfachen
c1 *1 + c2 *0 = 1 → c1 = 1
-c1* w *0 + c2* w* 1 = 2w
c2 = 2w / w
---> c2 = 2
Resultat:
x(t) = 1 cos(wt) + 2 sin(wt)
Zahlen ohne Gewähr! Selber kontrollieren!