Hi, ich hab hier einige Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe.
Bisher habe ich Anfangswertprobleme von gewöhnlichen Differentialgleichungen gelöst und kam da recht gut zurecht, aber bei Systeme von linearen Dgl habe ich doch noch einige probleme.
Aufgabe:
Ich soll hier also das Anfangswertproblem lösen.
\( (x=x(t), y=y(t)): \)
\( \left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=\quad 3 x+y \\ y^{\prime}=-2 x-4 \sin t\end{array}, \quad\right. \) mit \( x(0)=0, y(0)=1 \)
Ansatz:
\( \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) => (A-λE) = 0
Mit der det. und dem charakteristischen Polynom habe ich die Eigenwerte: λ1 = 2 und λ2 = 1 erhalten.
Nun die Eigenvektoren: Für λ = 2:
\( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \) <=> \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)* v = 0
=> v1 = \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \)
und für λ2 = 1:
\( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \) => v2 = \( \begin{pmatrix} -1/2 \\ 1 \end{pmatrix} \)
wobei ich zugeben muss, dass ich mich mit den Eigenvektoren noch etwas schwer tue und ich mir nicht sicher bin, ob ich sie richtig gebildet habe, dass übe ich jetzt noch an einigen beispielen.
Weiß jemand wie man nun weiter vorgeht? Ich bin ja jetzt nur auf den homogenen Teil eingegangen und bin mir nicht ganz sicher wie ich zum allgemeinen komme.
Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand hier weiter helfen könnte.
Liebe Grüße,
Mauerblümchen
