Differentialgleichung zur Beschreibung eines linearen Federpendels x'' + wx = 0 .

Question

Wir haben in der Uni gerade mit Differentialgleichungen begonnen und unsere erste Übung dazu gestellt bekommen. Leider ist das Skript sehr unstrukturiert und mir fällt es im Moment sehr schwierig die Aufgaben zu bearbeiten.. Könnte mir jemand bei diesen Gleichungen helfen?

Die Differentialgleichung zur Beschreibung eines linearen Federpendels \( \ddot{x} + ωx = 0 \) (mit ω² = D/m) hat die allgemeine Lösung x(t) = c₁ cos(ωt) + c₂ sin(ωt).

Bestimmen Sie die Lösung dieser Differentialgleichung unter den folgenden Zusatzbedingungen:

a) Anfangsbedingungen x(0) = 1, x(0) = 2ω
b) Randbedingungen x(0) = 1, x(^π/_2ω)) = 1
c) Randbedingungen x(0) = 1, x(^π/_ω) = 1
d) Randbedingungen x(0) = -1, x(^π/_ω) = -1

Answer 1

Die allgemeine Lösung ist dir schon vorgegeben.

Wenn du willst kannst du x(t) noch zwei mal nach t ableiten und dann zu w*x addieren. So hast du eine erste Kontrolle des angegeben Resultats. Das ist jedoch gar nicht verlangt.

Du sollst nur in der allgemeinen Lösung x(t) =....  die Konstanten c1 und c2 noch bestimmen. 

Beispiel a)

x(t) = c1 cos(wt) + c2 sin(wt) , x(0) = 1, x'(0) = 2w 

x'(t) = -c1* w* sin(wt) + c2* w* cos(wt)

Einsetzen:

x(0) = c1 cos(0) + c2 sin(0) = 1 

x'(0) = -c1* w* sin(0) + c2* w* cos(0)  = 2w

Vereinfachen

 c1 *1  + c2 *0 = 1   → c1 = 1

 -c1* w *0 + c2* w* 1  = 2w

c2 = 2w / w

---> c2 = 2

Resultat:

x(t) = 1 cos(wt) + 2 sin(wt) 

Zahlen ohne Gewähr! Selber kontrollieren!

Comments

offtopic: Falls es dich physikalisch interessiert, woher diese Gleichung kommt und was dieses lineare Federpendel eigentlich ist, studiere 

https://de.wikipedia.org/wiki/Federpendel#Herleitung_der_Schwingungsgleichung 

und https://de.wikipedia.org/wiki/Pendel#Federpendel

Answer 2

Stelle einfach die Gleichungen zu den Bedingungen auf. Daraus kannst du die Unbekannten c1 und c2 berechnen. Ich habe hier a und b benutzt.

a)

x(t) = a·COS(w·t) + b·SIN(w·t)

x(0) = a·COS(0) + b·SIN(0) = a = 1

x'(0) = b·w·COS(0) - a·w·SIN(0) = b·w = 2·w --> b = 2